Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Графіки нормованої sinc-функції (синій) та ненормованої sinc-функції (червоний) на відрізку значень x від −6π до 6π. Sinc-функція , що позначається
s
i
n
c
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,}
лат. sinus cardinalis — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:
У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як
s
i
n
c
(
x
)
=
{
sin
(
π
x
)
π
x
;
x
≠
0
1
;
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}
У математиці ненормована sinc-функція визначається як
s
i
n
c
(
x
)
=
{
sin
(
x
)
x
;
x
≠
0
1
;
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}
У обох випадках значення функції в особливій точці
x
=
0
{\displaystyle x=0}
аналітична для будь-якого значення аргументу.
Для ненормованої sinc-функції :
s
i
n
c
(
0
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,}
s
i
n
c
(
k
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,}
k
≠
0
{\displaystyle k\neq 0\,}
k
∈
Z
,
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}
цілі числа ); тобто, це інтерполююча функція Для ненормованої функції
s
i
n
c
(
0
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,}
s
i
n
c
(
k
π
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {sinc} (k\pi )=0\,}
k
≠
0
{\displaystyle k\neq 0\,}
k
∈
Z
,
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}
цілі числа );Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції
sin
(
x
)
x
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}
sin
(
x
)
x
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}
x
=
a
{\displaystyle x=a\,}
sin
(
a
)
a
=
cos
(
a
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,}
Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку
j
0
(
x
)
=
sin
(
x
)
x
{\displaystyle j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}
j
0
(
π
x
)
{\displaystyle j_{0}(\pi x)\,}
∫
0
x
sin
(
θ
)
θ
d
θ
=
S
i
(
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)\,\!}
де Si(x ) — інтегральний синус . λ sinc(λ x ) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:
x
d
2
y
d
x
2
+
2
d
y
d
x
+
λ
2
x
y
=
0.
{\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!}
Іншим є cos(λ x )/x .
∫
−
∞
∞
sin
2
(
θ
)
θ
2
d
θ
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \,}
∫
−
∞
∞
sin
3
(
θ
)
θ
3
d
θ
=
3
π
4
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!}
∫
−
∞
∞
sin
4
(
θ
)
θ
4
d
θ
=
2
π
3
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!}
Перетворення Фур'є нормованої sinc-функції
s
i
n
c
(
x
)
=
sin
(
π
x
)
π
x
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,}
прямокутній функції
r
e
c
t
(
f
)
{\displaystyle \mathrm {rect} (f)\,}
∫
−
∞
∞
s
i
n
c
(
t
)
e
−
2
π
i
f
t
d
t
=
r
e
c
t
(
f
)
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)}
де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.
s
i
n
c
(
x
)
=
sin
(
π
x
)
π
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
2
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}
sin
(
x
)
x
=
∏
n
=
1
∞
cos
(
x
2
n
)
.
{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).}
s
i
n
c
(
x
)
=
sin
(
π
x
)
π
x
=
1
Γ
(
1
+
x
)
Γ
(
1
−
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}
де
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
.svg)
