Висота (теорія кілець)

Висота ідеалу — мінімум висот простих ідеалів, що містять даний ідеал. Висота $\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})$ простого ідеалу ${\mathfrak {p}}$ в кільці R — найбільше число h (або $\infty$, якщо такого числа немає) таке, що існує ланцюг різних простих ідеалів

${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{h}={\mathfrak {p}}$

Ковисота $\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}})$ простого ідеалу ${\mathfrak {p}}$ визначається як найбільше h, для якого існує ланцюг простих ідеалів

${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{h}\neq R$

Висота простого ідеалу рівна корозмірності многовиду, що визначається ідеалом, а ковисота — розмірності цього многовиду. Висота і ковисота простого ідеалу пов'язані нерівністю

$\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}})\leq \operatorname {dim} R$

де $\operatorname {dim} R$ позначає розмірність Круля. Рівність досягається, наприклад, у разі, коли R — локальне кільце Коена — Маколея .

Прості ідеали висоти 0 — це мінімальні прості ідеали. Існування в нетеровій області цілісності простих ідеалів висоти 1 встановлює теорема про головний ідеал: висота ненульового головного ідеалу рівна 1. Загальніший результат — теорема Круля, пов'язує висоту з числом твірних ідеала: у нетеровому кільці висота ідеала, породженого n елементами, не перевищує n, і навпаки: простий ідеал висоти n є мінімальним серед простих ідеалів, що містять деякі n елементів. Зокрема, в нетеровому кільці будь-який ідеал має скінченну висоту; відносно ковисоти це вже не так.

Див. також

• Розмірність Круля

Джерела

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1977
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)