Мінімальний простий ідеал

В абстрактній алгебрі простий ідеал P називається мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо він є мінімальним (щодо включення) простим ідеалом, що містить I. Зокрема якщо I є простим ідеалом, то I є єдиним мінімальним простим ідеалом над собою. Простий ідеал називається мінімальним простим ідеалом якщо він є мінімальним простим ідеалом над нульовим ідеалом.

Приклади

• В комутативному кільці Артіна довільний максимальний ідеал є мінімальним простим ідеалом.
• В області цілісності єдиним мінімальним простим ідеалом є нульовий ідеал.
• В кільці цілих чисел Z, мінімальними простими ідеалами, що містять головний ідеал (n) є головні ідеали (p), де p є простими дільниками n. Єдиним мінімальним простим ідеалом є сам нульовий ідеал, оскільки цілі числа є областю цілісності. Подібні твердження справедливі і для довільного кільця головних ідеалів.
• Якщо I є p-примарним ідеалом (наприклад степінь p), доді p є єдиним мінімальним простим ідеалом над I.
• Ідеали $(x)$ і $(y)$ є мінімальними простими ідеалами в кільці $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ оскільки вони містять нульовий ідеал (який не є простим, оскільки $x\cdot y=0\in (0)$, але ні $x$ ні $y$ не є елементами нульового ідеалу) і не містяться в жодному іншому простому ідеалу.
• В кільці $\mathbb {C} [x,y,z]$ мінімальними простими ідеалами над ідеалом $((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})$ є ідеали $(x^{3}-y^{3}-z^{3})$ і $(x^{5}+y^{5}+z^{5})$.

Властивості

Всі ідеали нижче вважаються комутативними і містять одиничний елемент.

• Кожен власний ідеал I в кільці має хоча б один мінімальний простий ідеал над I. Доведення є типовим використанням леми Цорна. Будь-який максимальний ідеал, що містить I є простим тому множина простих ідеалів, що містять I є непустою. Перетин спадної послідовності простих ідеалів є простим ідеалом. Тому згідно леми Цорна множина простих ідеалів, що містять I має мінімальний елемент, що є мінімальним простим ідеалом над I.
• В нетеровому кільці, над кожним ідеалом є лише скінченна кількість мінімальних простих ідеалів.

Позначимо ${\mathcal {F}}$ множину всіх ідеалів $I$ нетерового кільця $R$ для яких множина всіх мінімальних простих ідеалів $Min(I)$ є нескінченною. Припустимо, що ${\mathcal {F}}\neq \emptyset$ . Тоді ця множина має максимальний елемент $I$.

Ідеал $I$ очевидно не є простим і тому $\exists a,b\not \in I:ab\in I$. Оскільки $R$ є нетеровим кільцем то кожен його ідеал є скінченнопородженим і зокрема $I=(r_{1},\ldots ,r_{n}).$

Позначимо $J_{1}=(r_{1},\ldots ,r_{n},a)$, $J_{2}=(r_{1},\ldots ,r_{n},b).$ Тоді $I\subset J_{1},\;\;I\subset J_{2}$ і також $J_{1}J_{2}\subset I.$ Оскільки $I$ є максимальним елементом у ${\mathcal {F}}$ то множини $Min(J_{1})$ і $Min(J_{2})$ є скінченними.

Нехай тепер $P\in Min(I)$, і оскільки $ab\in I\subset P$ і $P$ є простим ідеалом, то $a\in P$ або $b\in P.$ Звідси за означеннями $J_{1}\subset P$ або $J_{2}\subset P$. Тобто $P$ належить $Min(J_{1})$ або $Min(J_{2}).$ Як наслідок $Min(J_{1})$ або $Min(J_{2})$ має бути нескінченною множиною. Але це суперечить максимальності ідеалу $I$ і завершує доведення.

• Радикал ідеалу ${\sqrt {I}}$ є рівним перетину мінімальних простих ідеалів над I.
• Нехай ${\mathfrak {p}}$ — мінімальний простий ідеал кільця $R$. Кожен елемент максимального ідеалу локалізації $R_{\mathfrak {p}}$ є нільпотентним. Якщо $R$ є редукованим кільцем, то $R_{\mathfrak {p}}$ є полем.

Якщо $x\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ не є нільпотентним то існує простий ідеал кільця $R_{\mathfrak {p}}$, що не містить $x$ (оскільки перетин простих ідеалів є рівним нільрадикалу). Але тоді у $R$ існує простий ідеал, що є власною підмножиною ${\mathfrak {p}}$ і це суперечить мінімальності останнього. Якщо $R$ є редукованим кільцем, то таким є і $R_{\mathfrak {p}},$ тобто єдиним нільпотентним елементом є 0 і з попереднього ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0.$ Тобто $R_{\mathfrak {p}}$ є полем.

• Усі елементи довільного мінімального простого ідеалу є дільниками нуля. Якщо кільце є редукованим, то навпаки кожен дільник нуля є елементом деякого мінімального простого ідеалу.

Нехай ${\mathfrak {p}}$ мінімальний простий ідеал кільця $R$. Розглянемо мультиплікативну множину ${\rm {\,S\,}}$ породжену множинами $R\setminus {\mathfrak {p}}$ і $R\setminus Z,\$ де ${\rm {\,Z}}$ є множиною всіх дільників нуля у $R$ (включно і з $0).\,$ Тоді ${\rm {\,0\not \in S\ }}$ (якщо ${\rm {\,0=a\,b,}}$ ${\rm {\ a\in R\setminus {\mathfrak {p}},\ }}$ ${\rm {\ b\in R\setminus Z\ }}$ то мало б бути ${\rm {\Rightarrow b\in Z).}}$ Тому існує ідеал ${\rm {\,Q\,}}$ який є максимальний з ідеалів, що не містить ${\rm {\,S.\,}}$ До того ж ${\rm {\,Q\,}}$ є простим (теорема віддільності у статті Простий ідеал). Але ${\rm {\,S\,\supset \,R\setminus {\mathfrak {p}}\cup R\setminus Z\ }}$ тому $Q\subset {\mathfrak {p}}\cap Z,\,$ і з мінімальності ${\rm {\,{\mathfrak {p}}\,}}$ випливає, що ${\rm {\,{\mathfrak {p}}=Q\subset Z,}}$ тобто всі елементи ${\mathfrak {p}}$ є дільниками нуля.

Для редукованого кільця $R$ якщо xy = 0 і $y\not \neq 0,$ то існує мінімальний простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ якому не належить y. Тоді $x\in {\mathfrak {p}}.$

• Простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ кільця R є єдиним мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо і тільки якщо ${\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}$. Ідеал I є ${\mathfrak {p}}$-примарним якщо ${\mathfrak {p}}$ є максимальним. За допомогою цього можна отримати локальний критерій: простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо $IR_{\mathfrak {p}}$ є ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$-примарним ідеалом. Якщо R є нетеровим кільцем, ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо $R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}$ є кільцем Артіна. Прообраз $IR_{\mathfrak {p}}$ при гомоморфізмі $R\to R_{\mathfrak {p}}$ є примарним ідеалом кільця $R$ який називається ${\mathfrak {p}}$-примарною компонентою ідеалу I.

Див. також

• Висота (теорія кілець)
• Простий ідеал

Посилання

• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E [Архівовано 25 грудня 2017 у Wayback Machine.]
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P [Архівовано 26 грудня 2017 у Wayback Machine.]

Література

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings, University of Chicago Press, MR 0345945