Теорема Круля про головний ідеал — важливе твердження у комутативній алгебрі, яке разом зі своїми наслідками є основою для означення розмірності в алгебрі і алгебричній геометрії. Теорема названа на честь австрійського математика Вольфганга Круля.
Нехай A — кільце Нетер,
— елемент кільця, що не є оборотним чи дільником нуля і
— мінімальний простий ідеал кільця над головним ідеалом aA. Тоді висота ідеалу дорівнює 1.
Наслідком теореми є так звана теорема Круля про висоту: якщо мінімальна кількість елементів, що породжують деякий ідеал нетерового кільця рівна m, то висота цього ідеалу не більша, ніж m.
Оскільки нас цікавлять лише прості ідеали
, можна замінити A на його локалізацію
. Дійсно всі прості ідеали кільця
мають вигляд
де
— простий ідеал кільця A.
Отже, надалі припустимо, що кільце A є локальним з єдиним максимальним ідеалом
і
для кожного простого ідеалу
. Замінюючи
на
, можна також припустити, що A редуковане (не містить нільпотентів) або, що те саме,
— радикальний ідеал.
Розглянемо його простий розклад (тобто мінімальні прості ідеали перетин яких рівний нульовому ідеалу; для нетерових кілець ці ідеали утворюють скінченну множину):
. Оскільки добуток ідеалів кільця є підмножиною перетину цих ідеалів, то також
, отже ,
містить довільний ідеал
, але
, оскільки всі елементи з
— дільники нуля . Тому
.
Припустимо, що
, де
— простий ідеал. Розглянемо фактор-кільце
. Воно має єдиний простий ідеал
, отже, є артіновим.
Це означає, що будь-який спадний ланцюжок ідеалів A, які містять a, стабілізується. Зокрема, це вірно для ланцюжка, що складається з ідеалів
де
позначає символічний степінь ідеала.
Отже, існує ціле k , таке що
.
Беручи довільний
, одержимо, що
для деяких
, звідки
і
для деякого
відповідно до означення символічного степеня.
Але
, отже також
і
.
З леми Накаями одержується рівність
Справді маємо
і ідеал
є максимальним, тож з леми Накаями для будь-якого скінченнопородженого модуля M з рівності
випливає, що
Як наслідок для скінченнопородженого модуля N, що є підмодулем M з рівності
випливає, що
Взявши
як
отримуємо необхідну рівність.
Отже,
і
є мінімальним простим ідеалом відповідно до властивостей символічних степенів і
Спершу доведемо таке твердження. Нехай
— прості ідеали нетерового кільця A і
— ланцюжок простих ідеалів A, такий що
для всіх і. Тоді існує ланцюжок простих ідеалів
такий що
для всіх і,j.
Можна припустити,що
для всіх і. Замінивши A на
вважатимемо, що
Використовуючи індукцію щодо довжини l, можна також припустити, що
для всіх і. Згідно леми про уникнення простих ідеалів існує
такий, що
. Елемент a не є оборотним і не є дільником нуля, оскільки за припущенням нульовий ідеал є простим. Тому, якщо
— мінімальний простий ідеал, який міститься в
і містить a, то за теоремою Круля про головний ідеал
Оскільки
то
і ми одержуємо необхідний ланцюжок.
Доведення теореми про висоту здійснюється індукцією по кількості породжуючих елементів m. Випадок m = 1 випливає з теореми Круля про головний ідеал. Розглянемо ідеал
де породжуюча множина містить найменшу можливі кількість елементів і нехай
— відповідний мінімальний простий ідеал.
Нехай
— мінімальні прості ідеали, які містять ідеал
(їх кількість завжди є скінченною). Якщо
для деякого і, то
Припустимо, що
Розглянемо будь-який ланцюжок простих ідеалів
Із попереднього можна припустити що
для всіх і. Позначимо
Тоді
є мінімальним серед простих ідеалів
що містять
отже,
Оскільки
є всіма мінімальними простими ідеалами
і
то
є мінімальним серед простих ідеалів
що містять
Тому
є мінімальним серед простих ідеалів у
які містять всі класи
За індуктивним припущенням,
тобто
- Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії
- David Eisenbud: Commutative Algebra. with a View Toward Algebraic Geometry Springer, New York, ISBN 0-387-94268-8, 10. The Principal Ideal Theorem an Systems of Parameters.
- Michael Francis Atiyah, Ian Grant Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, New York, ISBN 0-201-00361-9, 11 Dimension Theory.