Ергодичність

Ергоди́чність (або транзитивність) — спеціальна властивість деяких (динамічних) систем, яка полягає в тому, що в процесі еволюції такої системи майже кожна точка її з певною ймовірністю проходить поблизу будь-якої іншої точки системи. Тоді при розрахунках час, який важко розраховувати, можна замінити фазовими (просторовими) показниками. Система, в якій фазові середні збігаються з часовими, називається ергодичною.

Опис

Перевага ергодичних динамічних систем полягає в тому, що при достатньому часу спостереження такі системи можна описувати статистичними методами. Наприклад, температура газу — це міра середньої енергії молекули, ринкова ціна компанії — це міра похідних функцій від даних бухгалтерської звітності. Звісно, необхідно попередньо довести ергодичність даної системи.

Для ергодичних систем математичне сподівання по часових рядах має збігатися з математичним сподіванням по просторових рядах.

Ергодична теорія — один з розділів загальної динаміки.

Е.Лоренц висловив думку, що кліматична система є майже ергодичною, тобто її фазовий простір розпадається на ряд множин ${\mathfrak {A}}_{i}$ із певними умовними ймовірностними мірами $P_{i}(A),\,\,A\in {\mathfrak {A}}_{i}$, і фазові траєкторії можуть тривалий, але скінченний час перебувати у кожній з цих множин (відвторюючи відповідний клімат $P_{i}(A),\,\,A\subset {\mathfrak {A}}_{i}$) та рідко переходити з однієї з цих множин до іншої.

Едварду Лоренцу належить математичний приклад майже інтразитивної (ергодичної) системи - ідеалізована нестаціонарна тримодова роликова конвекція рідини, у якій безрозмірні функції течії $\psi$ й відхилення температури від лінійного вертикального профілю $\vartheta$ у площині $(x,y)$ мають вигляд

$\psi =X{\sqrt {2}}\sin {\frac {k_{1}x}{H}}\sin {\frac {\pi z}{H}};$

$\vartheta =Y{\sqrt {2}}\cos {\frac {k_{1}x}{H}}\sin {\frac {\pi z}{H}}-Z\sin {\frac {2\pi z}{H}},$

а залежність амплітуд $X,Y,Z$ від часу $t$ описується рівняннями:

${\begin{matrix}dX/Dt=-\sigma X+\sigma Y;\\dY/dt=rX-Y-XZ;\\dZ/dt=-bZ+XY,\end{matrix}}$

де $\sigma ,r,b$ - числові сталі ($\sigma$ - Число Прандтля, $r$ - відношення Числа Релея до його критичного значення, за якого починається роликова конвекція).

Приклади

• Перетворення пекаря

Див. також

• Синергія
• Перемішування
• Теорія більярдів
• Теорема Біркгофа
• Детермінований хаос
• Ланцюги Маркова
• Ергодична теорема
• Кібертекст

Література

• Аносов Д. В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие эргодические системы // Успехи математических наук. — 1967. — Т. 22, вип. 5. — С. 137.
• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. — М. : Наука, 1980. — 384 с.
• Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М. : ГИТТЛ, 1949. — 448 с.
• Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. — М. : Фазис, 1996. — 132 с.
• Халмош П. Лекции по эргодической теории. — М. : ИЛ, 1959. — 148 с.
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — М.-Л. : ГИТТЛ, 1943. — 128 с.
• G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
• J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
• J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.
• U. Krengel. Ergodic Theorems. Berlin — New York: W. de Gruyter, 1985.

Посилання

• Стаття «Ергодична теорія»^{[недоступне посилання з липня 2019]} У ВРЕ
• Що таке ергодичність (англ.)