Правила Худзіти

Правила Худзіти — набір семи правил, що формально описують геометричні побудови за допомогою плаского оригамі, подібним до побудови за допомогою циркуля та лінійки. Названі на честь японо-італійського математика Хуміакі Худзіти (1924—2005).

Фактично вони описують всі можливі способи отримання однієї нової складки на аркуші паперу шляхом суміщення вже існуючих різних елементів аркуша — точок та ліній. Під лініями розуміються краї аркуша або складки паперу, під точками — перетини ліній. Істотним моментом є те, що згин формується єдиною складкою, причому в результаті складання фігура залишається пласкою.

Часто ці правила називають «аксіомами», хоча з формальної точки зору аксіомами вони не є.

Правила

Складки в цих правилах існують не завжди, правило стверджує тільки, що якщо така складка є, то її «можливо» знайти.

Правило 1

Нехай задані дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$, тоді аркуш можна скласти так, що ці дві точки будуть лежати на складці.

Правило 2

Нехай задані дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$, тоді аркуш можна скласти так, що одна точка перейде в другу.

Правило 3

Нехай задані дві прямі $l_{1}$ і $l_{2}$, тоді аркуш можна скласти таким чином, що одна пряма перейде в другу.

Правило 4

Нехай задані пряма $l_{1}$ і точка $p_{1}$, тоді аркуш можна скласти так, що точка пройде через складку, а пряма перейде сама в себе (тобто лінія складки буде їй перпендикулярна).

Правило 5

Нехай задані пряма $l_{1}$ і дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$, тоді аркуш можна скласти так, що точка $p_{2}$ потрапить на складку, а $p_{1}$ на пряму $l_{1}$.

Правило 6

Нехай задані дві прямі $l_{1}$ і $l_{2}$ і дві точки $p_{1}$ і $p_{2}$, тоді аркуш можна скласти так, що точка $p_{1}$ потрапить на пряму $l_{1}$, а точка $p_{2}$ на пряму $l_{2}$.

Правило 7

Нехай задані дві прямі $l_{1}$ і $l_{2}$ і точка $p$, тоді аркуш можна скласти так, що точка p потрапить на пряму $l_{1}$, а пряма $l_{2}$ перейде сама в себе (тобто лінія складки буде їй перпендикулярна).

Зауваження

Всі складки в цьому списку можна отримати як результат послідовного застосування правила номер 6. Тобто для математика вони нічого не додають, однак дозволяють зменшити кількість згинів. Система з семи правил є повною, тобто вона описує всі можливі способи отримання однієї нової складки на аркуші паперу шляхом сполучення вже існуючих різних елементів аркуша. Це останнє ствердження було доведено Робертом Ленгом.

Можливі і неможливі побудови

Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Через це зручно казати про побудову числа — графічного розв'язку рівняння визначеного типу. В межах вищеописаних вимог можливі наступні побудови:

• Побудова розв'язків лінійних рівнянь.
• Побудова розв'язків квадратних рівнянь.
• Побудова розв'язків кубічних рівнянь (правило 6).

Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа, що дорівнюють арифметичним виразам з використанням квадратних і кубічних коренів із початкових чисел (довжин відрізків).

В окремих випадках, за допомогою таких побудов можна здійснити подвоєння куба, трисекцію кута, побудову правильного семикутника. Розв'язок задачі про квадратуру круга однак залишається неможливим, через те, що π — трансцендентне число.

Історія

Основне правило (номер 6) було розглянуто Маргеритою Пьяцолла-Белок (італ. Margherita Piazzolla Beloch), їй же належать перші побудови трисекції кута і квадратури кола за допомогою оригамі-побудов. Повний перелік правил з'являється в роботі Жака Жюстина, який пізніше також посилався на Пітера Мессера як на співавтора. Практично одночасно правила 1—6 були сформульовані Хуміакі Худзитою. Останнє сьоме правило додав ще пізніше Косиро Хаторі.

Варіації та узагальнення

Список можливих побудов можна значно розширити, якщо дозволити створення декількох складок за один раз. Хоча людина, що вирішила зробити декілька складок за раз на практиці стикнеться з труднощами фізичного характеру, тим не менш можливо вивести правила, аналогічні правилам Худзіти і для цього випадку. При допущенні таких додаткових правил можливо довести наступну теорему:

Будь-яке алгебраїчне рівняння степеня n може бути розв'язане n-2 одночасними складками

Цікаво, чи можливо розв'язати те саме рівняння додаванням, що використовує меншу кількість складок. Це, безперечно, вірно для n=4 і невідомо для n=5.

Див. також

• Метод Ліля

Література

• Huzita Axiomas на сайті Роберта Ленга (англ.)
• T. Hull Origami Geometric Constructions(англ.)