Добуток (теорія категорій)
Добуток (категорний добуток) — в теорії категорій це узагальнення таких понять декартів добуток множин, прямий добуток груп і добуток топологічних просторів.
Добуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, з якого який існує морфізм до кожного об'єкта сімейства. Добуток об'єктів двоїстий їхньому кодобутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку обертанням усіх стрілок.
Визначення
Якщо X1 та X2 — об'єкти категорії C, тоді об'єкт X є добутком X1 та X2, позначається X1 × X2, якщо він задовільняє універсальну властивість:
- існують морфізми π1 : X → X1, π2 : X → X2 такі, що для кожного об'єкту Y та пари морфізмів f1 : Y → X1, f2 : Y → X2 існує єдиний морфізм f : Y → X такий, що наступна діаграма є комутативною :
![Універсальна властивість добутку](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/CategoricalProduct-03.svg/280px-CategoricalProduct-03.svg.png)
Єдиний морфізм f називається добутком морфізмів f1 та f2 і позначається < f1, f2 >. Морфізми π1 та π2 називаються канонічними проєкціями чи морфізмами проєкції.
Добуток більше ніж двох об'єктів визначається для ісімейства об'єктів, яке індексоване множиною I.
Об'єкт X є добутком сімейства об'єктів (Xi)i∈I якщо існують морфізми πi : X → Xi, такі, що для кожного об'єкта Y та I-індексованого сімейства морфізмів fi : Y → Xi існує єдиний морфізм f : Y → X такий, що наступна діаграма є комутативною для всіх i∈I:
![Universal product of the product](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Cat_product.svg/149px-Cat_product.svg.png)
Приклади
- У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин , а пряма сума — диз'юнктне об'єднання .
- У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток , а прямий добуток — сума кілець .
- У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів .
Властивості
...
Дистрибутивність
В категорії із скінченними добутками та кодобутками існує канонічний морфізм X×Y+X×Z → X×(Y+Z), тут знак плюс означає кодобуток. Це випливає із існування канонічних проєкцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Product-Coproduct_Distributivity.png)
Властивість універсальності для X×(Y+Z) гарантує єдиність морфізму X×Y+X×Z → X×(Y+Z). Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.
Література
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.