Морфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Морфізм — структурозберігальне відображення між двома математичними структурами. Тобто, відображення між множинами що зберігає структури (так що структури визначені для першої множини відображаються на еквівалентні структури в другій множині).

Частковими випадками морфізму є:

Наприклад:

Теорія категорій[ред.ред. код]

Морфізм — основне поняття теорії категорії, яка не розглядає природу конкретних математичних структур. А вивчає категорії (об'єктів, математичних структур) за допомогою комутативних діаграм (в яких морфізми зображаються стрілками).

Для морфізмів виконуються дві аксіоми:

  • Існування одиниці: для довільного об'єкта X існує морфізм idX : XX називається тотожний морфізм на X, такий, що для кожного f : AB отримаємо idB o f = f = f o idA.
  • Асоціативність: h o (g o f) = (h o g) o f щодо операції композиції.

Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм[ред.ред. код]

Морфізм називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм , що та . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Безліч ендоморфізмів є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом .

Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів по композиції.

Мономорфізм, епіморфізм, біморфізм[ред.ред. код]

Мономорфізм — це морфізм такий, що для будь-яких з випливає, що . Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких з слідує .

Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, але не будь-який біморфізм є ізоморфізмом.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно. Будь-який ізоморфізм є мономорфізмом і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.