Площина

Дві площини, що перетинаються

Площина́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладенні геометрії поняття площини як правило сприймається як первісне, котре лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше зустрічається в А.К.Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше зустрічається в Ламе (1816—1818), нормальне рівняння увів (1861).

Деякі характерні властивості площини

• Площина — поверхня, котра повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
• Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Площини в тривимірному Евклідовому просторі

Визначення на основі точок і прямих, що належать площині

В Евклідовому просторі будь-якої вимірності, площина зазвичай визначається за допомогою:

• Трьох не-колінеарних точок (точки не знаходяться на одній прямій).
• Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
• Двома різними прямими, що перетинаються.
• Двома паралельними прямими.

Властивості

Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії при вищих розмірностях:

• Дві різні площини є або паралельними або перетинаються по прямій.
• Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або знаходиться на площині.
• Дві різні прямі, перпендикулярні до однієї площини мають бути паралельними одна до одної.
• Дві різні площини перпендикулярні одній прямій мають бути паралельні одна одній.

Рівняння площини

Площина — алгебрична поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.

• Загальне (повне) рівняння площини

$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$

де $A,B,C$ та $D$ — сталі, при чому $A,B$ і $C$ не всі рівні нулю; у векторній формі:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0$

де $\mathbf {r}$ — радіус-вектор точки $M(x,y,z)$, вектор $\mathbf {N} =(A,B,C)$ перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора $\mathbf {N}$:

$\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називається неповним. При $D=0$ площина проходить через початок координат, при $A=0$ (або $B=0$, $C=0$) площина паралельна осі $Ox$ (відповідно $Oy$ чи $Oz$). При $A=B=0$ ($A=C=0$, чи $B=C=0$) площина паралельна площині $Oxy$ (відповідно $Oxz$ чи $Oyz$).

• Рівняння площини у відрізках:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$

де $a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$ — відрізки, які площина відсікає на осях $Ox,Oy$ і $Oz$.

• Рівняння площини, що проходить через точку $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ перпендикулярно до вектора $\mathbf {N} (A,B,C)$:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$

у векторній формі:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.$

• Рівняння площини, що проходить через три задані точки $M(x_{i},y_{i},z_{i})$, які не лежать на одній прямій:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r} -\mathbf {r_{2}} ),(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} ))=0$

(мішаний добуток векторів), іншими словами

$\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$

• Нормальне (нормоване) рівняння площини

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)$

у векторній формі:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )=0,$

де $\mathbf {N^{0}}$ — одиничний вектор, $p$ — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

$\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

(знаки $\mu$ і $D$ протилежні).

Пов'язані поняття

• Відхилення точки $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ від площини

$\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;$

$\delta >0$,якщо $M_{i}$ і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку$\delta <0$. Відстань від точки до площини дорівнює $|\delta |.$

• Кут між площинами Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то

$\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};$

Якщо у векторній формі, то

$\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.$

• Площини паралельні, якщо

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$ чи $[\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=1.$

• Площини перпендикулярні, якщо

$A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0$ чи $(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0$.

• Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z)=0,$

де $\alpha$ і $\beta$ — довільні числа, що не одночасно дорівнюють нулю.

Література

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.

Посилання

• Площина // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 131. — 594 с.