Група Баумслага — Солітера

Граф Келі групи $BS(1,2)$ .

Група Баумслага — Солітера — група з двома твірними $a$ і $b$ і одним співвідношенням

$ab^{m}a^{-1}=b^{n}.$

Зазвичай, цю групу позначають $BS(m,n)$.

Приклади і властивості

• $BS(1,1)$ це вільна абелева група з двома твірними.
• $BS(1,-1)$ фундаментальна група пляшки Кляйна.
• $BS(1,n)$ при $n>1$ ізоморфна підгрупі групи афінних перетворень дійсної прямої, породжена відображеннями $a:x\to nx$ і $b:x\to x+1$.
• Група $BS(2,3)$ (поряд з іншими групами $BS(m,n)$, для яких множини простих дільників чисел m і n не збігаються) є найвідомішим прикладом негопфової групи. А саме, епіморфізм $\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$ не є автоморфізмом $BS(2,3)$.
• Група $BS(n,m)$ допускає лінійне подання $a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ і $b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ .
  • Це подання не є ефективним, тобто різні елементи групи можуть відповідати одному лінійному оператору.
• Група $BS(m,n)$ залишково скінченна тоді й лише тоді, коли $|m|=1$, $|n|=1$, або $|m|=|n|$.

Посилання

• DJ Collins (2001), "Baumslag-Solitar group ", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR0142635