Цілочисельна ґратка

n-вимірна цілочисельна ґратка (або кубічна ґратка), позначувана Zⁿ, — це ґратка в евклідовому просторі Rⁿ, точки якої є n-кортежами цілих чисел. Двовимірну цілочисельну ґратку називають також квадратною ґраткою. Zⁿ є найпростішим прикладом ґратки коренів. Цілочисельна ґратка є непарною унімодулярною ґраткою.

Група автоморфізмів

Група автоморфізмів (або група конгруенції) цілої ґратки складається з усіх перестановок і зміною знаків координат і має порядок 2ⁿ n!. Як матрична група ця група задається множиною всіх n×n знакових матриць перестановок. Ця група ізоморфна напівпрямому добутку

$(\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}$,

де симетрична група S_n діє (Z₂)ⁿ шляхом перестановки (є класичним прикладом сплетіння груп).

Група квадратної ґратки є групою квадратів або діедральною групою порядку 8. Для тривимірної кубічної ґратки маємо групу кубів, октаедральну групу порядку 48.

Діофантова геометрія

Під час вивчення діофантової геометрії квадратну ґратку точок із цілими координатами часто називають діофантовою площиною. В математичних термінах діофантова площина є прямим добутком $\scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ кільця всіх цілих чисел $\scriptstyle \mathbb {Z}$. Вивчення діофантових фігур фокусується на виборі вузлів діофантової площини, таких, що всі попарні відстані між точками є цілими.

Груба геометрія

У грубій геометрії цілочисельна ґратка грубо еквівалентна евклідовому простору.

Див. також

• Регулярна сітка

Література

• Olds C.D. The Geometry of Numbers. — Mathematical Association of America, 2000. — ISBN 0-88385-643-3.