Перейти до вмісту

Напівпрямий добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами і , і дією групи в просторі групи , що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп і над звичайно позначається .

Конструкція

[ред. | ред. код]

Нехай задана дія групи на просторі групи із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм групи в групу автоморфізмів групи . Автоморфізм групи , що відповідає елементу із при гомоморфізмі позначимо . Як група  — напівпрямий добуток груп і над гомоморфізмом  — береться множина з бінарної операцією , яка діє за правилом:

для довільних , .

Властивості

[ред. | ред. код]
  1. Групи і природно вкладені в , причому  — нормальна підгрупа в .
  2. Кожен елемент однозначно розкладемо у добуток , де і  — елементи груп і відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи як напівпрямого добутку груп і .)
  3. Задана дія груп на групі збігається з дією на спряженнями (в групі ).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Обґрунтування
  • Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення
и .
  • Одиницею групи G служить елемент , де и - одиниці в групах N и H відповідно.
    (Використовується рівність .)
  • Елемент, обернений до , рівний .
    • Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність .
  • Відображення и є гомоморфними вкладеннями груп N і H в групу G. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи G.
  • Відображення є епиморфізмом групи G на групу H з ядром N. Звідси слідує, що група N є нормальною в G.
  • Рівність дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
  • Рівність показує, що дія групи H на N, котра задається гомоморфізмом співпадає з дією H на N спряженням.
  • Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою .
    З неї випливає, що добуток у групі G с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення всередині підгруп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.

Приклад

[ред. | ред. код]

Група діє на (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

, де  — фіксований ненульовий елемент , , .

Відповідно, на множині можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]

Українською

[ред. | ред. код]
  • (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

[ред. | ред. код]