Напівпрямий добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами і , і дією групи в просторі групи , що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп і над звичайно позначається .

Конструкція[ред.ред. код]

Нехай задана дія групи на просторі групи із збереженням її групової структури. Це значить, що задано гомоморфізм групи в групу автоморфізмів групи . Автоморфізм групи , що відповідає елементу із при гомоморфізмі позначимо . Як група  — напівпрямий добуток груп і над гомоморфізмом  — береться множина з бінарної операцією , яка діє за правилом:

для довільних , .

Властивості[ред.ред. код]

  1. Групи і природно вкладені в , причому  — нормальна підгрупа в .
  2. Кожен елемент однозначно розкладемо у добуток , де і  — елементи груп і відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи як напівпрямого добутку груп і .)
  3. Задана дія груп на групі збігається з дією на спряженнями (в групі ).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Приклад[ред.ред. код]

Група діє на (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

, де  — фіксований ненульовий елемент , , .

Відповідно, на множині можна ввести 4 структури групи - напівпрямого добутку:

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта - ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином півпрямі дубуткі груп використовується взагалі для класифікації кінцевих груп.

Література[ред.ред. код]