Теорема про неявну функцію — загальна назва для теорем, що гарантують локальне існування і описують властивості неявної функції, тобто функції
- , ,
заданої рівнянням
- , .
Одновимірний випадок
Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.
Якщо функція
- Неперервна у деякому околі точки
- і
- При фіксованому , функція строго монотонна по у даному околі
тоді у деякому двовимірному проміжку , що є околом точки , і така неперервна функція , що для будь-якої точки
Звичайно додатково передбачається, що функція неперервно диференційовна, в цьому випадку умова монотонності випливає з того що , тут позначає часткову похідну по .
Більш того, в цьому випадку, похідна функції може бути обчислена за формулою
Багатовимірний випадок
Нехай і — і -вимірні евклідові простори з фіксованими системами координат, точки яких відповідно і .
Нехай відображає деякий окіл точки у простір і
— координатні функції (від змінних ) відображення , тобто .
Припустимо, що і відображення — неперервно диференційовне в околі , а якобіан відображення не рівний нулю в точці , тобто визначник матриці не рівний нулю. Тоді існують околи і точок і відповідно в просторах і , причому , і єдине відображення , таке, що для всіх виконується тотожність . При цьому і відображення є раз неперервно диференційовним на .
Якщо функція F є неперерфно диференційовною до порядку k в множині U×V, то такою ж є і функція f у множині U і виконується
- .
Узагальнення
Банахові простори
Нехай , , — банахові простори. Нехай відображення — диференційовне за Фреше. Якщо , , і — ізоморфізм банахових просторів і , тоді існують околи точки і точки і диференційовне за Фреше відображення , таке що і якщо і тільки якщо , для всіх .
Випадок не диференційовних функцій[1]
Розглянемо неперервне відображення таке що . Якщо існують відкриті околи і точок і , такі що для всіх , є локально бієктивним тоді існують околи і точок і ,
такі що, для всіх , рівняння
має єдиний розв'язок
- ,
де є неперервна функція з на .
Примітки
- ↑ S. Kumagai, "An implicit function theorem: Comment," Journal of Optimization Theory and Applications, 31(2):285-288, June 1980.
Джерела