N-кістяк

Граф гіперкуба є 1-кістяком тесеракту.

N-кістяк у математиці, зокрема в алгебраїчній топології, є топологічним простором X, який представлений у вигляді симпліційного комплексу (відповідно CW-комплексу), який належить до підпростору X_n, що є об'єднанням симплексів X (відповідно клітин X) розмірів m ≤ n. Іншими словами, враховуючи індуктивне визначення комплексу, n-кістяк отримується, зупинкою на n-му кроці.

Ці підпростори збільшуються зі значенням n. 0-кістяк являє собою дискретний простір, а також 1-кістяк топологічного графа. Скелети простору використовуються в теорії обструкцій, для побудови спектральних послідовностей за допомогою фільтрації, і взагалі для створення індуктивних аргументів. Вони особливо важливі, коли X має нескінченну розмірність в тому сенсі, X_n не стає постійним, коли $n\to \infty$.

В геометрії

В геометрії, a k-кістяк n-багатогранника P (функціонально представлені у вигляді skel_k(P)) складаються з усіх i-політопів, які мають розмірність не більше k.

Наприклад:

skel₀(куб) = 8 вершин: skel₁(куб) = 8 вершин, 12 ребер: skel₂(куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратних граней

Для симпліційних множин

Вищезгадане визначення кістяка симпліційного комплексу — це окремий випадок поняття кістяка симпліційної множини. Коротко кажучи, спрощений набір $K_{*}$ може бути описаний сукупністю множин $K_{i},\ i\geqslant 0$, разом з гранями і виродження між ними задовольняють ряд рівнянь. Ідея n-кістяку $sk_{n}(K_{*})$ — це спочатку відкинути набори $K_{i}$ із $i>n$, а потім доповнити колекцію $K_{i}$ із $i\leqslant n$ до «найменшої можливої» симпліційної множини, так що отримана симпліційна множина не містить ніяких вироджених симплексів степені $i>n$.

Більш точно, обмеження функтора

$i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leqslant n}^{op}Sets$

має лівого спряженого, який позначається як $i^{*}$. (Нотації $i^{*},i_{*}$ є порівнянними з функторами зображень для пучків.) n-кістяк симпліційної множини $K_{*}$ визначається як

$sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.$

Кокістяк

Крім того, $i_{*}$ має правий спряжений $i^{!}$. n-кокістяк визначається як

$\cos k_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.$

Наприклад, 0-skeleton K являє собою постійний симпліційну множину, визначену як $K_{0}$. 0-кокістяк визначається нервом Чеха

$\dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.$

(Граничний та вироджений морфізми задаються різними проєкціями та діагональними вкладеннями, відповідно.)

Наведені вище конструкції працюють для більш загальних категорій (замість множин), за умови, що у категорії є розшарований добуток. Кокістяк необхідний для визначення поняття гіперпокриття в гомотопичній алгебрі і алгебраїчній геометрії.

Див. також

• Геометричний кістяк

Посилання

• Weisstein, Eric W. Skeleton(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.