Квантовий вентиль

Квантовий вентиль (квантовий логічний елемент) — це базовий елемент квантового комп'ютера, що перетворить вхідні стани кубітів на вихідні за певним законом. Відрізняється від звичайних логічних вентилів тим, що працює з кубітами, а отже підпорядковується квантовій логіці. Квантові вентилі на відміну від багатьох класичних завжди можуть бути оберненими.

Так як кубіт можна зобразити у вигляді вектора у двовимірному просторі, то дію вентиля можливо описати унітарною матрицею, на яку множиться відповідний вектор стану вхідного кубіту. Однокубітні вентилі описуються матрицями розміру 2 × 2, двохкубітні — 4 × 4, а n-кубітні — 2ⁿ × 2ⁿ.

Приклади квантових вентилів

Найпростіші однокубітні вентилі:

• Тотожне перетворення:$\sigma _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

• Заперечення:$\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

• Фазове зрушення:$\sigma _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

• Перетворення Адамара: $H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$

 Також можливі вентилі, що мають два входи (і два виходи, так як кількість входів і виходів у квантових вентилів повинно збігатися в силу вимоги унітарності):

• Контрольоване U (C-U). Суть контрольованого U полягає в тому, що на перший вхід подається керуючий кубіт, а на другий — керований. Якщо керуючий кубіт дорівнює одиниці, над керованим проводиться операція U, а якщо нулю — тотожне перетворення (кубіт подається на вихід без змін). Якщо матриця U має вигляд
• $U={\begin{bmatrix}x_{00}&x_{01}\\x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}$

 тоді матриця перетворення CU виглядає так:

$\operatorname {C} (U)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&x_{00}&x_{01}\\0&0&x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}$

• Контрольоване заперечення (C-NOT). В цьому випадку $U=\sigma _{1}$ і матриця перетворення має вигляд:

$CNOT={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}$

Важливими 3-х кубітними вентилями є:

• вентиль Тоффолі (англ. Toffoli gate, часто CCNOT) — є універсальним. Може бути реалізований на C-NOT і однокубітних вентилях. Схожий за алгоритмом роботи на CNOT, але звертає значення останнього біта тільки якщо два перших входу рівні одиниці. В іншому випадку всі входи подаються на вихід незмінними.

Таблиця істинності	Матрична форма
Вхід Вихід  0   0   0   0   0   0  0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0	${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\\\end{bmatrix}}$

• вентиль Фредкіна (англ. Fredkin gate, часто CSWAP) — також універсальний. Якщо перший вхід встановлений, переставляє значення кубітів зі входів 2 і 3. Інакше всі три кубіти залишаються без змін.

Таблиця істинності	Матрична форма
Вхід Вихід C I1 I2 C O1 O2  0   0   0   0   0   0  0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1	${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Універсальні квантові вентилі

Набір квантових вентилів називають універсальним, якщо будь-яке унітарне перетворення можна наблизити з будь-якою заданою точністю скінченною послідовністю вентилів з цього набору. Іншими словами, універсальні квантові вентилі є генераторами групи унітарних матриць. Можна довести, що набір, що складається з вентиля C-NOT і всіх однокубітних вентилів, є універсальним. Можливі й інші універсальні набори.

Реалістична реалізація NAND квантового вентиля двох контрольованих обертів — Приклад

NAND може бути побудований наприклад з двома електронними кругами взаємодіючими простійшим обміном й обидва покладені у магнетичне поле з часом, який залежить від напряму використаному для цієї операції. Гамільтоніан отриманий завдяки

$H=-{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\cdot \mathbf {B} -{\boldsymbol {\sigma _{2}}}\cdot \mathbf {B} -{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma _{2}}}$,

де ${\boldsymbol {\sigma _{1}}}$, ${\boldsymbol {\sigma _{2}}}$ — вектори оператори електронних обертів, які складаються з трьох Паули матриць. Рівняння Блоха без загасання виходить з рівняння Шредінгера є:

${\dot {\boldsymbol {\sigma _{1}}}}={\boldsymbol {\sigma _{1}}}\times \mathbf {B} +{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\times {\boldsymbol {\sigma _{2}}}$

${\dot {\boldsymbol {\sigma _{2}}}}={\boldsymbol {\sigma _{2}}}\times \mathbf {B} +{\boldsymbol {\sigma _{2}}}\times {\boldsymbol {\sigma _{1}}}$

Ці рівняння можуть бути вирішені в адиабатического наступне наближення, коли спінові вектори нескінченно ларморовської прецесії слідувати вектор магнітного поля тільки в припущенні, що $|\mathbf {B} |=|{\boldsymbol {\sigma _{i}}}|$ .Залежно від того, чи є вектори і паралельні або анти-паралельно магнітному полю або анти-паралельно один одному, вони або обидва адиабатически слідувати магнітне поле і змінити напрямок на 180 ° або лівій стороні одного з рівнянь тотожно звертається в нуль і тільки напрямок одного з спинив змін, які слід, адиабатически суперпозицію поля, а другій доданій заморожені спина, чинного як ефективне поле. Функція зміни магнітного поля в часі, очевидно, безумовна і не залежить від початкового стану обох спинив, що гарантує належну роботу затвора. Інтуїтивно ця операція може бути зрозуміло, що магнітне поле вирівнює антиферомагнітного упорядкування двох спинив в привілейованому феромагнітним при русі заднім ходом існуючий феромагнітне впорядкування. Після часу адиабатическом зміні напрямку поля B на 180 градусів у нас є, тому

$e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}$

$e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$

$e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$

$e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$

При тлумаченні спин вгору, як логічний 1, вниз, як 0 і дубльований спин кінцевого стану в результаті ми отримуємо ворота зв'язці заперечення або NAND.