Кокомпактна топологія

Нехай $(\mathbb {R} ,\tau )$ — евклідів простір дійсних чисел (з природною евклідовою топологією).

Визначимо нову топологію $\tau _{*}=\{X\subset \mathbb {R} |X=\varnothing$ або $\mathbb {R} \backslash X$ компактна в $(\mathbb {R} ,\tau )\}$, яка називається кокомпактною топологією на $\mathbb {R}$.

Властивості

• $\tau _{*}$ сильніша за коскінченну топологію на $\mathbb {R}$.
• ($\mathbb {R} ,\tau _{*}$) є T₁ , але не T₂ простором. Тому ($\mathbb {R} ,\tau _{*}$)  не є T_2½, T₃, T₄, T₅  простором.
• ($\mathbb {R} ,\tau _{*}$) гіперзв'язний, зв'язний, локально зв'язний, але не ультразв'язний простір.
• ($\mathbb {R} ,\tau _{*}$) задовольняє першу та другу аксіоми зліченності.
• ($\mathbb {R} ,\tau _{*}$) компактний.
• ($\mathbb {R} ,\tau _{*}$) секвенціально компактний.
• ($\mathbb {R} ,\tau _{*}$) сепарабельний.

Література

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446