Простір T1

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Простір топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності. Іноді простори, що задовольняють цій умові також називаються просторами Фреше, але цей термін також використовується в інших значеннях.

Визначення[ред. | ред. код]

Топологічний простір називається простором , якщо для будь-яких двох різних точок існує відкрита множина , така що але .

Еквівалентно можна дати інші визначення, які разом дають основні властивості просторів:

  • Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна одноточкова підмножина в є замкнутою.
  • Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна його скінченна підмножина є замкнутою.
  • Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна його коскінченна підмножина (доповнення до скінченної підмножини) є відкритою.
  • Простір є простором тоді і тільки тоді, коли кожна його підмножина рівна перетину всіх відкритих підмножин, що її містять.
  • Простір є простором тоді і тільки тоді, коли для кожної його підмножини S і кожної точки , x є граничною точкою множини S якщо і тільки якщо довільний відкритий окіл точки x містить нескінченну кількість точок з множини S.

Приклади і властивості[ред. | ред. код]

  • Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами і простори, що не є вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором ; навпаки, кожен скінченний простір є дискретним.
  • Кожен гаусдорфів простір є простором .
  • Прикладом простору, що задовольняє аксіому , але не є гаусдорфовим є множина дійсних чисел з топологією де відкритими множинами є доповнення скінченних множин, а також і весь простір. Іншими важливими прикладами є топологія Зариського для алгебричних многовидів над алгебрично замкнутим полем, а також кокомпактна топологія на множині дійсних чисел.
  • Кожен простір є простором Т0 , проте є простори , які не є просторами . Наприклад, множина з топологією є простором , але не . Іншим таким прикладом є топологія перекривних інтервалів. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором але в загальному випадку не є простором .
  • Підмножина простору з індукованою топологією є простором .
  • Декартовий добуток просторів теж є простором .

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]