Кофібрація

У математиці, зокрема алгебричній топології неперервне відображення називається кофібрацією (кофібрацією Гуревича або корозшаруванням), якщо воно задовольняє властивість розширення гомотопії для всіх топологічних просторів. Поняття кофібрації визначене як для загальних просторів так і для просторів із виділеною точкою.

Означення

Неперервне відображення $i\colon A\to X$ називається кофібрацією, якщо для всіх топологічних просторів Y і неперервних відображень

$f\colon X\to Y,h\colon A\times \left[0,1\right]\to Y$

для яких

$f\circ i=h\circ i_{0}$ на просторі A

(де $i_{0}(x)=(x,0)$ позначає включення $i_{0}\colon A\to A\times \left[0,1\right]$) існує продовження гомотопії

${\overline {h}}\colon X\times \left[0,1\right]\to Y$

тобто

${\overline {h}}\circ (i\times id)=h$

і

${\overline {h}}|_{X\times \{0\}}=f\circ \pi _{X}$

(де $\pi _{X}:X\times \{0\}\to X$ є проєкцією).

Якщо розглядати простори із виділеними точками і відображення між ними, то в означенні усі гомотопії мають зберігати виділені точки.

Якщо $i\colon A\to X$ є включенням $A\subset X$ (а це насправді є справедливим для всіх кофібрацій) то воно є кофібрацією тоді і тільки тоді коли відображення

$p\colon X\times \left[0,1\right]\to A\times \left[0,1\right]\cup X\times \left\{0\right\}$

є ретракцією.

Приклади

• Включення гіперсфери у кулю відповідної розмірності

$S^{n-1}\to D^{n}$

є кофібрацією.

• Для будь-якого CW-комплекса включення підкомплекса є кофібрацією.

Властивості

• Довільна кофібрація $f\colon A\to X$ є ін'єкцією і гомеоморфізмом на образ відображення. Тобто кожна кофібрація є включенням підпростору.

Нехай $M_{f}$ є циліндром відображення. Нехай $H_{t}:A\to M_{f}$ є гомотопією при якій образом $(a,t)$ є образ цієї точки у $M_{f}.$ Нехай також ${\bar {H}}_{0}:X\to M_{f}$ є включенням простору X у циліндр відображення. Згідно властивості кофібрації тоді існує гомотопія ${\bar {H}}_{t}:X\to M_{f}$ для якої ${\bar {H}}_{t}\circ f=H_{t}.$ Оскільки для довільного t > 0 відображення $H_{t}$ є ін'єктивним, то і $f$ є ін'єкцією. Окрім того у цьому випадку $H_{t}$ є гомеоморфізмом на $A\times t$ і $H_{t}^{-1}\circ {\bar {H}}_{t}$ є неперервним відображенням оберненим до f. Тож f є гомеоморфізмом між A і f(A).

• Як показано у статті Властивість розширення гомотопії, якщо додатково простір X є гаусдорфовим, то також f(A) є замкнутим підпростором у X.
• Якщо включення $f\colon A\to X$ є кофібрацією, то конус відображення $C_{f}$ є гомотопно еквівалентним фактор-простору $X/A$ і

$H_{*}(X,A)=H_{*}(C_{f})=H_{*}(X/A)$.

• Як продемонстровано у статті Циліндр відображення, кожне неперервне відображення $f:X\to Y$ є композицією $X\xrightarrow {\bar {f}} M_{f}\xrightarrow {h} Y,$ де ${\bar {f}}$ є кофібрацією, а $h$ — гомотопною еквівалентністю. Таким чином для топологічних властивостей які не залежать від гомотопно еквівалентних просторів чи відображень, ці властивості можна перевіряти лише для кофібрацій, а не усіх відображень.

Див. також

• Властивість розширення гомотопії
• Циліндр відображення

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 21 червня 2020.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4