Гомотопія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гомотопія — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Нехай X та Yтопологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору X в простір Y. Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення H\colon X \times [0,1] \to Y таке, що f(x) = H(x, 0) і g(x) = H(x, 1) для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Гомотопічна еквівалентність бублика і чашки
  • Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
  • Якщо на деякій підмножині A\subset X,\; F(t,a)=f(a) для всіх t при a\in A, то F називається гомотопією відносно A, а f і g гомотопними відносно A.
  • Ізотопія — гомотопія топологічного простору X по топологічному простору Y, тобто  f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1], в якій при будь-кому t відображення f_t є гомеоморфізмом X на f(X)\subset Y.

Гомотопічна еквівалентність[ред.ред. код]

  • Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів X і Y — пара неперервних відображень f\colon X\to Y і g\colon Y\to X така, що f\circ g\sim\operatorname{id}_Y і g\circ f\sim\operatorname{id}_X, тут \sim позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що X і Y гомотопно еквівалентні, або X з Y мають один гомотопний тип.

Властивості[ред.ред. код]

Рефлексивність. Якщо f\colon X\to Y — деяке неперервне відображення, тоді функція H\colon X \times I \to Y визначена  H(x, t) = f(x) буде гомотопією між f і f.
Симетричність. Нехай відображення f\colon X\to Y гомотопне відображенню g\colon X\to Y і H\colon X \times I \to Y — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією  H^'(x, t) = H(x,1 - t).
Транзитивність. Нехай відображення f\colon X\to Y гомотопне відображенню g\colon X\to Y і H\colon X \times I \to Y — відповідна гомотопія. Нехай також відображення g\colon X\to Y гомотопне відображенню h\colon X\to Y і F\colon X \times I \to Y — відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:
G(x,t)=\begin{cases}H(x,2t);&t \in [0; 0,5], \\ H(x,2t-1);&t \in (0,5; 1],\end{cases}
  • Усі відображення  h_t(x) = H(x, t)\, є неперервними.
  • Якщо \ f, f'\colon X\to Y,g\colon Y\to B,h\colon A\to X — неперервні відображення, і H\colon X \times I \to Y — гомотопія між f і f', то g\circ H \circ (h \times I) є гомотопією між g\circ f \circ h і g\circ f' \circ h .

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо Y = \R^m, то функції f і g є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається: H(x,t) = f(x) + t\left[g(x) - f(x)\right].
  • Множини X = [0, 1], \; Y = (0, 1) є гомотопічно еквівалентними, але не гомеоморфними.
  • Одиничне коло \mathcal S^1 гомотопно еквівалентне простору \mathbb R^2 \setminus \{0\}.

Література[ред.ред. код]

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971