Ретракт

В математиці, а саме в топології ретрактом називають підпростір топологічного простору для якого існує ретракція — неперервне відображення з більшого простору в підпростір, що є тотожним відображенням на підпросторах. Ретракти і їх особливі види, як наприклад деформаційні ретракти і абсолютні ретракти мають важливе застосування в багатьох розділах топології, зокрема теорії гомотопій і теорії гомологій.

Означення

Нехай $X$ — топологічний простір і $A$ — його підпростір. Неперервне відображення

$r\colon X\to A$

називається ретракцією якщо звуження функції r на множину $A$ є тотожним відображенням на $A$, тобто $r(a)=a,\;\forall a\in A$. Еквівалентно, позначивши

$\iota \colon A\hookrightarrow X$

вкладення $A$ в $X$, ретракцією r є відображення для якого

$r\circ \iota =\operatorname {id} _{A}.$

Ретрактом топологічного простору $X$ називається підпростір $A$ цього простору, для якого існує ретракція $X$ на $A$.

Пов'язані означення

• Підпростір $A$ простору $X$ називається околичним ретрактом цього простору, якщо в $X$ існує відкритий підпростір, що містить $A$, і для якого $A$ є ретрактом.
• Якщо ретракція простору $X$ на його підпростір $A$ гомотопна тотожному відображенню простору $X$ на себе, то $A$ називається деформаційним ретрактом простору $X$. Згідно означень в цьому випадку існує неперервне відображення $F\colon X\times [0,1]\to X\,$ що задовольняє умови $F(x,0)=x,\;F(x,1)\in A,\;F(a,1)=a,\quad \forall x\in X,a\in A.$ Якщо додатково виконується умова $F(a,t)=a,\quad \forall t\in [0,1],a\in A,$ то $A$ називається сильним деформаційним ретрактом простору $X$
• Метризовний простір $X$ називається абсолютним ретрактом (абсолютним околичним ретрактом), якщо він є ретрактом (відповідно околичним ретрактом) будь-якого метризовного простору, для якого $X$ є замкнутим підпростором.

Властивості

• Якщо простір $X$ є гаусдорфовим, то будь-який ретракт простору $X$ є замкнутим в $X$.
• При переході від простору до його ретрактів зберігаються багато важливих властивостей. Зокрема, будь-яка властивість, яка зберігається при переході до неперервного образу, так само як і будь-яка властивість, що успадковується замкнутими підпросторами, зберігається і при переході до ретрактів. Тому компактність, зв'язність, лінійна зв'язність, сепарабельність, обмеження зверху на розмірність, паракомпактність, нормальність, локальна компактність , локальна зв'язність зберігаються при переході до ретрактів.
• Якщо простір $X$ має властивість нерухомої точки, тобто для кожного неперервного відображення існує точка така, що $f(x)=x$, то і кожен ретракт простору $X$ має властивість нерухомої точки.
• Поняття ретракту має пряме відношення до питання про можливість продовження неперервних відображень. Так, підпростір $A$ простору $X$ є його ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке неперервне відображення простору $A$ в довільний топологічний простір $Y$ можна продовжити до неперервного відображення всього простору $X$ в $Y$.

Властивості деформаційних ретрактів

• Деформаційний ретракт простору гомотопічно еквівалентний цьому простору, тобто має з ним один і той же гомотопічний тип.
• Навпаки, два гомотопічно еквівалентних простори завжди можна вкласти в деякий третій простір таким чином, що обидва вони будуть його деформаційними ретрактами.

Властивості абсолютних ретрактів

• Для того щоб метризовний простір простір $X$ був абсолютним ретрактом, необхідно, щоб він був ретрактом деякого опуклого підпростору лінійного нормованого простору, і достатньо, щоб $X$ був ретрактом опуклого підпростору локально опуклого лінійного простору.
• Довільний ретракт абсолютного ретракта знову є абсолютним ретрактом.
• Кожен абсолютний ретракт є стягуваним по собі і локально стягуваним.
• Всі редуковані гомологічні, редуковані когомологічіні, гомотопічні і когомотопічні групи абсолютного ретракта є тривіальними.
• Метризовний простір $Y$ є абсолютним ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо, які б не були метризовний простір $X$, його замкнутий підпростір $A$ і неперервне відображення простору $A$ в $Y$, його можна продовжити до неперервного відображення всього простору $X$ в $Y$.
• Метризовний простір є абсолютним ретрактом тоді і тільки тоді коли він є стягуваним і абсолютним околичним ретрактом.
• Абсолютні околичні ретракти є ретрактами відкритих підмножин опуклих підпросторів лінійних нормованих просторів. До їх числа відносяться всі компактні поліедри. Істотною їх властивістю є локальна стягуваність.
• Будь-яка відкрита підмножина абсолютного околичного ретракта є абсолютним околичним ретрактом. Якщо для метризовного простору існує покриття абсолютними околичними ретрактами то і сам простір є абсолютним околичним ретрактом.
• Довільний абсолютний околичний ретракт має тип гомотопії деякого CW-комплекса. Якщо до того ж простір є компактним то він має тип гомотопії скінченного CW-комплекса, а у випадку локальної компактності він має тип гомотопії локально скінченного CW-комплекса. Метризовний прості є абсолютним околичним ретрактом тоді і тільки тоді коли кожна його відкрита підмножина має тип гомотопії деякого CW-комплекса.

Приклади

• Ретракт простору може бути набагато простішим його самого і більш зручним для конкретного дослідження. Так, одноточкова множина є ретрактом відрізка, прямої, площини.
• Будь-яка непорожня замкнута підмножина досконалої множини Кантора є її ретрактом.
• n-вимірна сфера Sⁿ не є ретрактом (n+1)-вимірної кулі Bⁿ⁺¹ евклідового простору, де $n=0,1,...,$ так як замкнута куля має властивість нерухомої точки (теорема Брауера), а сфера цієї властивості не має.
• Деяка (насправді довільна) точка простору $X$ є деформаційним ретрактом тоді і тільки тоді коли простір $X$ є стягуваним.
• n-вимірна сфера Sⁿ є сильним деформаційним ретрактом простору Rⁿ⁺¹\{0}; за гомотопне відображення можна взяти відображення

$F(x,t)=\left((1-t)+{t \over \|x\|}\right)x.$

• Всі опуклі підпростори локально опуклих лінійних просторів є абсолютними ретрактами; зокрема, такі як точка, відрізок, куля, пряма. Будь-який нормований простір є абсолютним ретрактом.
• Будь-який топологічний многовид є абсолютним околичним ретрактом.
• Будь-який локально скінченний CW-комплекс є абсолютним околичним ретрактом.

Література

• Борсук, Кароль (1971), Теория ретрактов, Москва: Мир
• Hu, Sze-Tsen (1965), Theory of Retracts, Wayne State University Press, MR 0181977