Лінеаризація

Лінеаризáція — (лат. linearis — лінійний), один з методів наближеного подання нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.

Лінеаризація функції

Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції $y=f(x)$ в будь-якій $x=a,$ беручи за основу нахил функції в $x=b$, за умови неперервності $f(x)$ на $[a,b]$ (або $[b,a]$) і того, що $a$ достатньо близько до $b$. Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля $x=a$.

Наприклад, ${\sqrt {4}}=2$. Однак, що буде хорошим наближенням для ${\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}$?

Будь-яку функцію $y=f(x)$ можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації $L_{a}(x)$ функції $f(x)$ в точці $x=a$ виконується $L_{a}(a)=f(a)$. Загальною формою рівняння в околі точки $(y_{0},x_{0})$ при нахилі $M$ є: $y-y_{0}=M(x-x_{0})$.

Використовуючи точку $(a,f(a))$, $L_{a}(x)$ набуває вигляду $y=f(a)+M(x-a)$. Бо неперервні функції є локально лінійні, найкращим нахилом для підстановки буде нахил дотичної до $f(x)$ у $x=a$.

Наближення для f(x)=x^2 у (x, f(x))

Візуально, на зображені показана дотична лінії для $f(x)$ у $x$. В $x+h$, де $h$ є будь-яким достатньо малим по модулю значенням, $f(x+h)$ дуже близьке до значення на дотичній в точці $(x+h,L(x+h))$.

У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в $x=a$:

$y=f(a)+f'(a)(x-a)\,$

Приклад

Щоб знайти ${\sqrt {4.001}}$, ми можемо використати те, що ${\sqrt {4}}=2$. Лінеаризацією $f(x)={\sqrt {x}}$ в $x=a$ є $y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)$, бо функція $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ визначає нахил функції $f(x)={\sqrt {x}}$ в $x$. При $a=4$, лінеаризація в 4 є $y=2+{\frac {x-4}{4}}$. У цьому випадку $x=4.001$, отже ${\sqrt {4.001}}$ це приблизно $2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$. Справжнє значення близьке до 2.00024998.

Лінеаризація функції багатьох змінних

Рівняння для лінеаризації функції $f(x,y)$ в точці $p(a,b)$ таке:

$f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)$

Узагальнене рівняння для лінеаризації функції багатьох змінних $f(\mathbf {x} )$ у точці $\mathbf {p}$ таке:

$f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })$

де $\mathbf {x}$ є вектором змінних і $\mathbf {p}$ точка в якій ми лінеаризуємо.

Лінеаризація нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь

Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=0.$ Лінеаризація функції це доданок першого порядку з ряду Тейлора біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$,

лінеаризовану систему можна записати як

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$

де $\mathbf {x_{0}}$ це цікава нам точка і $D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )$ це якобіан $\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ evaluated at $\mathbf {x_{0}}$.

Якщо точка $\mathbf {x_{0}}$   критична, то рівняння набуває вигляду

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {J} _{F}(\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$