Нестандартна модель арифметики
У математичній логіці нестандартна модель арифметики - це модель арифметики Пеано (першого порядку), яка містить нестандартні числа. Термін стандартна модель арифметики має на увазі стандартні натуральні числа 0, 1, 2,... Елементи будь-якої моделі арифметики Пеано лінійно впорядковані і мають початковий сегмент ізоморфний стандартним натуральним числам. Нестандартна модель - це така, яка має додаткові елементи поза цим початковим сегментом. Побудова таких моделей пояснюється Торальфом Сколем (1934).
Існує кілька методів, за допомогою яких можна довести існування нестандартних моделей арифметики.
Наявність нестандартних моделей арифметики може бути продемонстровано застосуванням теореми компактності. Для цього набір аксіом P* визначається такою мовою, що включає мову арифметики Пеано разом з новим постійним символом x. Аксіоми складаються з аксіом арифметики Пеана P разом з нескінченним набором інших аксіом: для кожної цифри n, аксіома x > n включена. Будь-яка кінцева підмножина цих аксіом задовольняється моделлю, яка є стандартною моделлю арифметики плюс константа x, що інтерпретується як деяке число, більше, ніж будь-яке число, згадане в кінцевій підмножині P*. Таким чином, за теоремою компактності існує модель, що задовольняє всі аксіоми P*. Оскільки будь-яка модель P* є моделлю P (оскільки модель набору аксіом, очевидно, також є моделлю будь-якої підмножини цього набору аксіом), ми маємо, що наша розширена модель є також моделлю аксіом Пеано. Елемент цієї моделі, що відповідає x, не може бути стандартним числом, оскільки, як зазначено, він більший за будь-яке стандартне число.
Використовуючи більш складні методи, можна побудувати нестандартні моделі, що володіють складнішими властивостями. Наприклад, існують моделі арифметики Пеано, в яких теорема Гудштайна провалюється. В теорії множин Зермело-Френкеля можна довести, що теорема Гудштайна справджується в стандартній моделі, тому модель, при якій теорема Гудштайна провалюється, повинна бути нестандартною.
Теореми про неповноту Геделя також передбачають існування нестандартних моделей арифметики. Теореми про неповноту стверджує, що певна формула G, геделева нерозв'язна формула, невивідна і неспростовна в арифметиці Пеано. За теоремою про повноту це означає, що G в деякій моделі арифметики Пеано невивідна. Однак G є правильною в стандартній моделі арифметики, і тому будь-яка модель, у якій G невивідна, повинна бути нестандартною моделлю. Таким чином, задоволення ~ G є достатньою умовою, щоб модель була нестандартною. Однак це не є необхідною умовою; для будь-якої формули Геделя G є моделі арифметики з G істинними для всіх кардинальностей.
- Boolos, G., and Jeffrey, R. 1974. Computability and Logic, Cambridge University Press. ISBN 0-521-38923-2.
- Skolem, Thoralf (1934). Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen (PDF). Fundamenta Mathematicae (нім.). 23: 150—161.
 | На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій. |