Оператор числа частинок

Оператор числа частинок — квантовий оператор, власні значення якого є кількість частинок у певному квантовому стані.

Оператор числа частинок позначається здебільшого ${\hat {N}}$ і задається формулою

${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$,

де ${\hat {a}}^{\dagger }$ і ${\hat {a}}$ — оператори народження та знищення, відповідно.

Оператор числа частинок визначається для кожного базисного вектора стану у просторі Фока.

Ферміони

Для ферміонів власними значеннями оператора числа частинок є 0 і 1, а відповідні власні стани можна позначити $|0\rangle$ та $|1\rangle$:

${\hat {N}}|0\rangle =0,\qquad {\hat {N}}|1\rangle =1$

Оператор числа частинок для ферміонів часто, зокрема при розгляді системи частинок, які не взаємодіють між собою, комутує з оператором енергії — гамільтоніаном. В такому випадку вони можуть мати спільну систему власних функцій, тобто число частинок в певному стані й енергію квантової системи можна визначити одночасно. При врахуванні взаємодії між частинками їхнє число в різних станах не зберігається.

У квантовій статистиці усереднення оператора числа частинок стану $|n\rangle$ по рівноважному стану дає розподіл Фермі-Дірака.

$\langle |{\hat {N}}_{n}|\rangle ={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}+1}}$,

де $\varepsilon _{n}$ — енергія n-го одночастинкового стану, $k_{B}$ — стала Больцмана, T — температура, $\mu$ — хімічний потенціал.

Бозони

Для бозонів власними значеннями оператора числа частинок є цілі числа n, а відповідні власні стани можна позначити $|n\rangle$.

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$

У квантовій статистиці усереднення оператора числа частинок стану $|n\rangle$ по рівноважному стану дає розподіл Бозе-Ейнштейна.

$\langle |{\hat {N}}_{n}|\rangle ={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}-1}}$,

Див. також

• Вторинне квантування