П'ята проблема Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

П'ята проблема Гільберта — одна з проблем, поставлених Давидом Гільбертом у його доповіді[1][2] на II Міжнародному конгресі математиків у Парижі в 1900 році. П'ята проблема Гільберта належить до теорії топологічних груп перетворень та груп Лі. Для важливих окремих випадків рішення отримано в 1933 і 1934 роках, остаточно вирішено в 1952 році.

Формулювання проблеми

[ред. | ред. код]

Топологічна група перетворень складається з топологічної групи , топологічного простору та безперервної дії групи на , яке є безперервним відображенням

які мають такі дві властивості:

  1. для всіх , де — одиничний елемент з ,
  2. для всіх і для всіх .

Топологічна група є групою Лі, якщо — дійсно-аналітичне різноманіття, а множення - Фактично-аналітичне відображення. Тоді за теоремою про неявну функцію відображення є дійсно-аналітичним. Якщо - група Лі, — дійсно-аналітичне різноманіття, а дія групи на — дійсно-аналітичне, маємо групу дійсно-аналітичних перетворень.

Нехай — локально евклідова топологічна група. Тоді виникає питання про те, чи можна завжди забезпечити дійсно-аналітичною структурою такою, що множення

буде дійсно-аналітичним? Це питання, на яке згодом було дано позитивну відповідь, і вважається сьогодні п'ятою проблемою Гільберта.[3]

Рішення проблеми

[ред. | ред. код]

Для компактних груп п'ята проблема була вирішена фон Нейманом[4] у 1933 році. Для локально компактних комутативних груп та деяких інших окремих випадків проблему вирішив Понтрягін[3][5][6] в 1934 році. Ці докази були отримані за допомогою результату угорського математика Альфреда Хаара[7], який побудував на локально компактній топологічній групі інваріантну міру[8].

Центральним пунктом загального доказу виявилося питання про існування «малих» підгруп у скільки завгодно малої околиці одиниці (крім самої одиниці). Групи таких підгруп не мають. Значний внесок у рішення зробив Глісон[9], який доказав, що кожна кінцевомірна локально компактна топологічна група , яка не має малих підгруп, є групою Лі.

Остаточне рішення отримане в 1952 році Монтгомері і Лео Ципін, які довели, що у локально зв'язної кінцевомірної локально компактної топологічної групи немає малих підгруп[10]. Оскільки будь-яка локально евклідова топологічна група є локально зв'язною, локально компактною і кінцевою, то з цих двох результатів випливає наступне твердження.

Теорема. Кожна локально евклідова група є групою Лі.

Як згодом показав Глушков, ця теорема допускає узагальнення[11].

Цей результат часто розглядають як вирішення п'ятої проблеми Гільберта, але поставлене Гільбертом питання мало більш широкий характер і стосувалося груп перетворень. для випадку, коли різноманіття не збігається з [3][12].

Відповідь на загальне питання Гільберта у разі топологічних безперервних дій виявилася негативною навіть для тривіальної групи . Існують топологічні різноманіття, що не мають жодної гладкої структури, а отже, не мають і дійсно-аналітичної структури[13].

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нім.). Архів оригіналу за 8 квітня 2012. Процитовано 27 серпня 2009. {{cite web}}: Проігноровано невідомий параметр |description= (довідка)
  2. Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Александров, 1969
  3. а б в Пятая проблема Гильберта: Обзор.
  4. Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Math. — 1933. — 34. — C. 170—190
  5. Проблемы Гильберта и советская математика (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 26 жовтня 2014. Процитовано 26 жовтня 2014.
  6. Pontryagin L. S. Topological groups. — Princeton: Univ. Press, 1939
  7. Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
  8. Понтрягин Л. С. Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г., Москва. — М. : Прима В, 1998. — 340 с. Архівовано з джерела 16 березня 2003
  9. Gleason A. M. Groups without small subgroups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 193—212.
  10. Montgomery D., Zippin L. Small subgroups of finite-dimensional groups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 213—241.
  11. В. М. Глушков. Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта(рос.), УМН, 1957, том 12, выпуск 2(74), 3—41.
  12. Montgomery D. Topological transformation groups // Proc. Int. Congr. Math. — 1954. — Vol. III. — Groningen-Amsterdam. — 1956. — С. 185—188 (РЖМат, 1958, 8602).
  13. Kervaire M. A. A manifold which does not admit any differentiable structure // Comment. Math. Helv. — 1960. — 34. — С. 257—270.

Література

[ред. | ред. код]