Полігамма-функція

Дигамма-функція $\psi (x)$

Тригамма-функція $\psi '(x)$

Тетрагамма-функція $\psi ''(x)$

Пентагамма-функція $\psi '''(x)$

Поліга́мма-фу́нкція порядку m у математиці визначається як (m+1)-ша похідна натурального логарифма гамма-функції,

$\psi ^{(m)}(z)={\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\psi (z)={\frac {{\rm {d}}^{m+1}}{{\rm {d}}z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)\;,$

де $\Gamma (z)$ — гамма-функція, а

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

— дигамма-функція, яку також можна визначити через суму такого ряду:

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,$

де ${\textstyle {\gamma }}$ — стала Ейлера — Маскероні. Це подання справедливе для будь-якого комплексного $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ (у зазначених точках функція ${\textstyle {\psi (z)}}$ має сингулярності першого порядку).

Полігамма-функцію також можна визначити через суму ряду

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}\;,\qquad m>0\;,$

який виходить із подання для дигамма-функції диференціюванням за z. Це подання також справедливе для будь-якого комплексного $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ (у зазначених точках функція ${\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}$ має сингулярності порядку (m+1)). Його можна записати через дзета-функцію Гурвіца,

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.$

У цьому сенсі дзета-функцію Гурвіца можна використати для узагальнення полігамма-функції на випадок довільного (нецілого) порядку m.

Зазначимо, що в літературі ${\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}$ іноді позначають як ${\textstyle {\psi _{m}(z)}}$ або явно вказують штрихи для похідних за z. Функцію ${\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{(1)}(z)}}$ називають тригамма-функцією, ${\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{(2)}(z)}}$ — тетрагамма-функцією, ${\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{(3)}(z)}}$ — пентагамма-функцією, ${\textstyle {\psi ''''(z)=\psi ^{(4)}(z)}}$ — гексагамма-функцією, і т. д.

Інтегральне подання

Полігамма-функцію можна подати як

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t$

Це подання справедливе для Re z >0 і m > 0. При m=0 (для дигамма-функції) інтегральне подання можна записати у вигляді

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}{\rm {d}}t\;,$

де ${\textstyle {\gamma }}$ — стала Ейлера — Маскероні.

Асимптотичні розклади

При $z\to \infty \;$ ($\;|\operatorname {arg} \;{z}|<\pi$) справедливий такий розклад із використанням чисел Бернуллі:

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m-1}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{\frac {m!}{2z^{m+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{2k}}{(2k)!\;z^{2k+m}}}\right]$

Розклад у ряд Тейлора поблизу аргументу, рівного одиниці, має вигляд

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,$

де ζ позначає дзета-функцію Рімана. Цей ряд збігається при |z| < 1, і його можна отримати з відповідного ряду для дзета-функції Гурвіца.

Часткові значення

Значення полігамма-функції при цілих і напівцілих значеннях аргументу виражаються через дзета-функцію Рімана,

$\psi ^{(m)}(1)=(-1)^{m+1}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0$

$\psi ^{(m)}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\;(2^{m+1}-1)\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,$

а для дигамма-функції (при m=0) —

$\psi (1)=\psi ^{(0)}(1)=-\gamma \;,$

$\psi ({\tfrac {1}{2}})=\psi ^{(0)}({\tfrac {1}{2}})=-\gamma -2\ln {2}\;,$

де ${\textstyle {\gamma }}$ — стала Ейлера — Маскероні.

Щоб отримати значення полігамма-функції за інших цілих (додатних) і напівцілих значень аргументу, можна використати рекурентне співвідношення, наведене нижче.

Інші формули

Полігамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^{m+1}}}\;,$

а також формулу доповнення

$\psi ^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m}\pi {\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\cot(\pi z)\;.$

Для полігамма-функції кратного аргументу існує така властивість:

$\psi ^{(m)}(kz)={\frac {1}{k^{m+1}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0$

а для дигамма-функції ($m=0$) до правої частини треба додати $\ln k$,

$\psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).$

Див. також

• Дигамма-функція
• Тригамма-функція

Посилання

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. §6.4 Polygamma Functions // Handbook of Mathematical Functions. — New York : Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4.
• Eric W. Weisstein Полігамма-функція(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.