В інтегруванні, розкладання дробів дозволяє інтегрувати раціональні функції. Будь-яка раціональна функція може бути представлена у вигляді суми деякого многочлена і деякого числа дробових функцій. Кожен дріб має знаменник у вигляді многочлена першого і другого степеня, до того ж многочлен в знаменнику, в свою чергу, також може бути піднесеним до деякого додатного цілого степеня. (У випадку комплексної змінної, знаменники є многочленами першого степеня, і ці многочлени можуть бути піднесені до цілого додатного степеня). Якщо знаменник є многочленом першого степеня, піднесений в деякий цілий додатній степінь, то чисельник дробу є постійним числом. Якщо знаменник є многочленом другого степеня (або деякого цілого додатного степеня такого многочлена), тоді чисельник є многочленом першого степеня.
Рішення Ісаака Барроу для інтегралу від секансу було першим випадком використання розкладання дробів в інтегруванні[1].
Відомо, що многочлен n-го степеня в загальному випадку має n комплексно-спряжених коренів (деякі корені можуть збігатися). Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 має два корені; многочлен x3 − 6x2 + 8x + 7 має три корені тощо.
Відповідно, будь-який многочлен може бути розкладений за формулою
де
,
…
— корені многочлена.
Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 можна розкласти наступним чином:
x2 − 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),
де 2 і 4 — корені квадратного рівняння
x2 − 6x + 8=0.
Отже, дріб, знаменником якої є многочлен, може бути розкладений наступним чином:
.
Ця операція розкладання дробу в деякому сенсі зворотня операції приведення дробу до спільного знаменника, з тією лише різницею, що тут ставиться зворотня задача — не привести дріб до спільного знаменника, а розкласти дріб, що має спільний знаменник, на декілька дробів, що мають різні знаменники.
Для прикладу розкладемо дріб
.
Згідно з тим, що написано вище, розклад цього дробу буде таким
.
Почнемо приводити два дроби у правій частині рівняння до спільного знаменника, і, очевидно, що чисельник, отриманого дробу буде рівним чисельнику первісного дробу
,
тобто, чисельник отриманого дробу буде дорівнювати одиниці.
Маємо
.
Записуючи два дроба з правого боку під одну риску, отримаємо
.
Розкривши дужки в знаменнику, отримаємо
.
Враховуючи, що знаменники однакові, то чисельники дробів з правої і лівої сторони можна порівняти; тоді отримаємо:
.
Розкриємо дужки з правої частини рівності та згрупуємо доданки:
.
В лівій частині множник при змінній х дорівнює нулю (змінна х відсутня), а вільний член дорівнює 1. В правій частині рівності множник при х дорівнює (А+В), а вільний член дорівнює (-4A — 2B). Прирівнюючи множники при х в правій і лівій частинах отримуємо рівняння:
.
Аналогічно прирівнюємо вільні члени, і отримуємо рівняння:
.
Об'єднуємо ці два рівняння в систему:
.
Розв'язуючи цю систему, знаходимо,що
,
.
Отже, маємо розклад
Тоді, інтеграл від дробу
буде дорівнювати сумі інтегралів від двох дробів
.
Враховуючи, що під знаком диференціалу до змінної можна додавати будь-яку константу, запишемо
Зробимо дві заміни
,
.
Тоді інтеграл прийме вигляд
.
Ці два інтеграли можна знайти за таблицею інтегралів. Тоді остаточно отримуємо:
або
.
Підстановка u = ax + b, du = a dx дозволяє спростити інтеграл
![{\displaystyle \int {1 \over ax+b}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ac0f44b926289a29fc5632e8b6c14df07b0be9)
до
![{\displaystyle \int {1 \over u}\,{du \over a}={1 \over a}\int {du \over u}={1 \over a}\ln \left|u\right|+C={1 \over a}\ln \left|ax+b\right|+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e481e36de42de4845dfc08d34fd86dbb81d7f5a5)
Многочлен першого степеня в знаменнику, зведений до деякого цілого додатного степеня
[ред. | ред. код]
Та ж сама підстановка спрощує інтеграл, подібний наступному
![{\displaystyle \int {1 \over (ax+b)^{8}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e27f9516de7663fbfc0773fbb3289bcef98a747)
до
![{\displaystyle \int {1 \over u^{8}}\,{du \over a}={1 \over a}\int u^{-8}\,du={1 \over a}\cdot {u^{-7} \over (-7)}+C={-1 \over 7au^{7}}+C={-1 \over 7a(ax+b)^{7}}+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44471778bfaf3571aec889e5cb1b26b69c38e354)
В знаменнику многочлен другого степеня, який не має дійсних коренів
[ред. | ред. код]
Розглянемо інтеграл
![{\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219aa2b1cd73698571fa1265f48666f49ded5932)
Найпростіший шлях побачити, що знаменник x2 − 8x + 25 не має дійсних коренів, полягає в тому, щоб обчислити його дискримінант, і побачити, що цей дискримінант від'ємний. Іншим чином, можна виділити повний квадрат в знаменнику:
![{\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bb2bdc1d2e7f3318477769296f809bfe188013)
і можна побачити, що знаменник являє собою суму квадратів двох чисел, і ця сума ніколи не може бути рівною 0 або менше 0, якщо x — дійсне число.
Використовуючи підстановку
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=x^{2}-8x+25\\du&=(2x-8)\,dx\\du/2&=(x-4)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757a30f45e2f263e4d196859931e048c3179d7e2)
нам потрібно виділити вираз x − 4 в чисельнику. Тоді мі зможемо записати чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і тоді інтеграл буде записан у вигляді
![{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6062e1c260c28c646d5fa8b2346709b68cc1ca72)
Наведена вище підстановка дозволяє взяти перший із цих двох інтегралів:
![{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6992966414505c7db523969ee1d06cfc030283)
Причина, з якої ми можемо опустити модульні дужки, є у тому, що, як ми казали раніше, вираз (x − 4)2 + 9 не може мати від'ємних значень.
Далі треба взяти інтеграл
![{\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f0a07b125fa686bb7ea367cffbccbfcc2514d7)
В першу чергу, виділимо повний квадрат в знаменнику, після чого проведемо не складні алгебраїчні перетворення:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx\\[9pt]&=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx={10 \over 3}\int {1 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,\left({dx \over 3}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aa39a4735dce090d72c7ea9f7266c571a231cb)
Тепер використаємо наступну підстановку
![{\displaystyle w=(x-4)/3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a0a32107f9e4bcd3229954e21baaad23ef1f0a)
![{\displaystyle dw=dx/3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12f9836c3d1a9a5e88fbe6977ca1c7868d6ddd6)
що дозволяє знайти
![{\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\operatorname {arctg} \,w+C={10 \over 3}\operatorname {arctg} \left({x-4 \over 3}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2470719ae60cbfab59480f073405e79139cc4f)
Додаючи обидва знайдених вирази, запишемо результат інтегрування
![{\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+{10 \over 3}\operatorname {arctg} \left({x-4 \over 3}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b7bd46f6c11ab4537485bae139598bb3e5fceb)
В деяких випадках зручніше використовувати комплексний розклад многочлена. Так, у наведеному вище прикладі:
![{\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27dc1a623e9fe1c81e4a3aecca42c85136fc4bf1)
Розкладаємо знаменник на два комплексні множники:
![{\displaystyle x^{2}-8x+25=(x-4+3i)(x-4-3i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4992387a1bc454cd930b9d9d8f7e7dc366ae602)
Після чого шукаємо розклад підінтегрального виразу на два доданки:
![{\displaystyle {\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}={\frac {A}{x-4+3i}}+{\frac {B}{x-4-3i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ec5ad4c378414dcf1c564fa3fd9e17af3ce0ba)
Вирішивши нескладну систему лінійних рівнянь, отримуємо:
![{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i,B={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a51be0c1434bacecb9d327673516ad4b4113384)
![{\displaystyle \int {\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}\,dx=({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx+({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb45b4089c182e65d702826fbfb103cbc3c36b2)
Після інтегрування маємо:
![{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i\right)\ln(x-4+3i)+\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i\right)\ln(x-4-3i)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f46a0370ad825023c02871dbdff3388acf753e5)
Згрупуємо окремо дійсні та уявні доданки:
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(x-4+3i)+\ln(x-4-3i)\right)+{\tfrac {5}{3}}i\left(\ln(x-4+3i)-\ln(x-4-3i)\right)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1885311cd7165acbfb5088417e5eb4ed983586f2)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln \left((x-4+3i)(x-4-3i)\right)+{\tfrac {5}{3}}i\ln {\frac {x-4+3i}{x-4-3i}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438b5753c403fe5c89334891fbbe2f579dd50a5c)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\tfrac {5}{3}}i\ln {\frac {1-i{\frac {x-4}{3}}}{1+i{\frac {x-4}{3}}}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71baf70aa90bf59674b221ca4273a616c2f8167e)
Як відомо, арктангенс комплексного змінного виражаеться через логарифм:
![{\displaystyle \operatorname {arctg} \,z={\tfrac {1}{2}}i\ln {\frac {1-i\,z}{1+i\,z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080bb4cf2a099b32470b5ddaacb2ca8e83f2839e)
Це дає нам можливість переписати другий доданок через арктангенс:
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\tfrac {10}{3}}\operatorname {arctg} {\frac {x-4}{3}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71293c1f05dc20311f98ed9a7a669a50a3dceadf)
В знаменнику многочлен другого степеня, зведений до цілого додатного степеня
[ред. | ред. код]
Розглянемо інтеграл
![{\displaystyle \int {x+6 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a188f9d4c2670feb2a3df54e0dd02968081ada92)
Так само, як це робилося вище, можна представити чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і взяти ту частину, котра містить вираз x − 4, за допомогою підстановки
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=x^{2}-8x+25,\\du&=(2x-8)\,dx,\\du/2&=(x-4)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d125aa3b70d3e52ef36907636f5f6f306cd853a2)
Нам залишається лише знайти інтеграл
![{\displaystyle \int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4ce39a092a05937fd505cce1af887f8c38d13a)
Як це робилося вище, спочатку виділимо повний квадрат, після цього зробимо нескладні математичні дії
![{\displaystyle \int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx=\int {10 \over ((x-4)^{2}+9)^{8}}\,dx=\int {10/9^{8} \over \left(\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1\right)^{8}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef2c23e6c7bd1c3e4e5902afc5935e11686c1da)
Після цього можна використовувати підстановку:
![{\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={x-4 \over 3},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3474e64b9c90294a8034164abd47bf1bd4bd4c00)
![{\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\operatorname {tg} ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6919f81b989c2e2f21a966021a324713523d62)
![{\displaystyle d(\operatorname {tg} \theta )=\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9a3e28e3160a923410f0728909b0614bf23cb8)
Після чого інтеграл приймає вигляд
![{\displaystyle \int {30/9^{8} \over \sec ^{16}\theta }\sec ^{2}\theta \,d\theta ={30 \over 9^{8}}\int \cos ^{14}\theta \,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae1601ce725b598fe8ff3b1a8f0e582b37cbe93)
Декілька разів використовуючи формулу
![{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={1 \over 2}(1+\cos(2\theta )),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe3587c9c2ad5550fe8a46bbdeb756c3d2ba013)
можна спрощувати цей інтеграл, до поки підінтегральний вираз не буде мати cos θ в степені, більше ніж 1.
Далі варто виразити sin(θ) і cos(θ) як функції від x. Приймемо, що
![{\displaystyle \operatorname {tg} (\theta )={x-4 \over 3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aabce777c3c7436d292f5954ad110ba7198add)
і що тангенс = (протилежна сторона)/(прилегла сторона). Якщо «протилежна» сторона має довжину x − 4 і «прилегла» сторона має довжину 3, то згідно теоремі Піфагора гіпотенуза має довжину √((x − 4)2 + 32) = √(x2 −8x + 25).
Маємо
![{\displaystyle \sin(\theta )={x-4 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157d859e0b3a9ba5773c22c7de761579dd58e2b7)
![{\displaystyle \cos(\theta )={3 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdfd71cd8edbeb9b7fa1da54bf627d5abc162d55)
і
![{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )={6(x-4) \over x^{2}-8x+25}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c715a588a59e2c0eb9d0d20bdb8b96b853dfcd)
- ↑ V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, «An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant», Mathematics Magazine, volume 53, number 3, May 1980, pages 162—166