Складні відсотки

Відноситься до списку статей про
математичну константу e
Властивості
Натуральний логарифм Показникова функція
Застосування
Складні відсотки Тотожність Ейлера Формула Ейлера Період напіврозпаду Експоненційне зростання і спад
Визначення e
доведення, що e є ірраціональним представлення числа e Теорема Ліндеманна-Вейєрштрасса
Видатні люди
Джон Непер Леонард Ейлер
Пов'язані теми
Припущення Шануеля

Складні відсотки — це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за основу береться нарощена сума попереднього періоду.

Математика відсоткової ставки

Спрощене обчислення

У формулі нижче, i — це фактична відсоткова ставка за період. $FV$ і $PV$ представляють майбутнє та поточне значення суми. $n$ представляє кількість періодів.

Ось найбазовіша формула:

$FV=PV(1+i)^{n}\,$

Наведене рівняння обраховує майбутнє значення ($FV$) для поточного інвестованого значення ($PV$), яке наростало зі сталою відсотковою ставкою ($i$) за $n$ періодів.

Складений

Формула для обчислення річного складного відсотку така:

$A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

Де,

• A = вихід
• P = початковий внесок
• r = річна номінальна процентна ставка (як дріб, не відсоток)
• n = кількість разів складання відсотку за рік
• t = кількість років

Приклад використання: Сума 1500.00 вкладена в банк, річна відсоткова ставка якого становить 4.3 %, і складається щоквартально. Знайти баланс через 6 років.

A. Із використанням попередньої формули, з P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4 і t = 6:

$A=1500\left(1+{\frac {0.043}{4}}\right)^{4\times 6}=1938.84$

Отже баланс по проходженні 6 років становитиме близько 1,938.84.

Періодичне складання

Підсумкова функція для складного відсотку — це степенева функція в термінах часу.

$A(t)=A_{0}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{\lfloor nt\rfloor }$

• $t$ = Кількість років

• $n$ = Кількість періодів на рік (отже загальна кількість періодів $n\cdot t$)

• $r$ = Річна номінальна процентна ставка виражена як десяткове, наприклад: 6 % = 0.06

• $\lfloor nt\rfloor$ значить що $nt$ округляється вниз до найближчого цілого.

При збільшенні $n$, відсоток досягає верхньої межі e^r − 1. Такий відсоток називається безперервним нарахуванням.

Через те, що початковий внесок $A(0)$ є просто коефіцієнтом, його часто опускають для спрощення, і натомість використовують такі функції накопичення для простого і складного відсотку:

$a(t)=1+tr\,$

$a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

Зауважте: $A(t)$ — це підсумкова функція і $a(t)$ — це функція накопичення.

Безперервне нарахування

Про безперервне нарахування можна думати як про періодичне складання із нескінченно малим періодом; отже формула отримується взяттям границі $n$ до нескінченності.

$A(t)=A_{0}e^{rt}$

або

$A=Pe^{rt}$

Інтенсивність відсотка

В математиці, функцію накопичення часто виражають із використанням e, бази натурального логарифму.

Для будь-якої неперервно диференційовної функції накопичення a(t) інтенсивність відсотка(англ. force of interest), або загальніше логарифмічний чи безперервно нараховуваний прибуток це така функція від часу:

$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}\,$

що є швидкістю зміни натурального логарифму від функції накопичення.

З іншого боку можна записати:

$a(n)=e^{\int _{0}^{n}\delta _{t}\,dt}\ ,$ (бо $a(0)=1$)

Посилання

• Методи визначення вартості грошової одиниці