Тотожність Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
EulerIdentity2.svg

У математичному аналізі тотожність Ейлера, що названа на честь Леонарда Ейлера, це рівняння

e^{i \pi} + 1 = 0,
де
e\,\! — це число Ейлера, основа натуральних логарифмів;
i\,\! — це уявна одиниця, комплексне число, квадрат якого дорівнює -1;
\pi\,\! — це число пі, відношення довжини кола круга до його діаметру.

Тотожність Ейлера також називають «рівнянням Ейлера».

Значення тотожності[ред.ред. код]

Тотожність Ейлера є прекрасним зразком єдності математики. Як зауважив Елі Маор, вона поєднує три основні математичні операції, а саме додавання, множення, і піднесення до степеня і п'ять фундаментальних математичних констант, що належать до чотирьох класичних галузей математики:

Не дивно, що чимало хто знайшлов у тотожності Ейлера містичні значення усіх зразків. ("These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics: arithmetic, represented by 0 and 1; algebra, by i; geometry, by π; and analysis by e. No wonder that many people have found in Euler's formula all kinds of mystic meanings.")

Тотожність Ейлера викликала багато захоплених відгуків.

Після доведення тотожності Ейлера в лекції, Бенджамін Пірс, відомий математик XIX сторіччя і професор Гарвардського універсітета, сказав, "Це абсолютно парадоксально; ми не можемо зрозуміти це, і ми не знаємо, що це означає, але ми довели це, і тому знаємо, що це повинно бути істиною." [5]

Доведення[ред.ред. код]

Демонстрація формули Ейлера у комплексній площині

Тотожність Ейлера випливає із формули Ейлера, що має вид:

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

для будь-якого дійсного числа x. Зокрема, якщо

x = \pi,\,\! то e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

Оскільки

\cos \pi = -1  \, \! та \sin \pi = 0,\,\! отримуємо e^{i \pi} = -1,\,\!

що і доводить тотожність

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Загальнішим чином, можна довести, що

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .

Тотожність Ейлера відповідає n=2.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. Ред. М.Д.Аксёнова. —М.: Аванта+, 2000. -688 с.: ил., стр. 212
  2. Derbyshire p.210.
  3. Crease, 2004.
  4. Reid, From Zero to Infinity.
  5. Maor p.160 and Kasner & Newman p.103–104.

Посилання[ред.ред. код]

  • Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004.
  • Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
  • Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
  • Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
  • Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).