Теорема Борсука — Уляма: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Іванко1 (обговорення | внесок) м дoдана Категорія:Теореми з допомогою HotCat |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Теорема Бо́рсука - У́лама''' стверджує, що |
'''Теорема Бо́рсука - У́лама''' стверджує, що |
||
якщо задана [[неперервна функція|неперервна]] [[функція (математика)|функція]] <math>f:S^n \to \mathbb{R}^n</math>, де <math>S^n</math> - [[сфера]] в <math>(n+1)</math>-мірному [[Лінійний простір|лінійному просторі]], то існують такі дві діаметрально протилежні точки <math>a, b \in S</math>, що <math>f(a)=f(b)</math>. |
якщо задана [[неперервна функція|неперервна]] [[функція (математика)|функція]] <math>f:S^n \to \mathbb{R}^n</math>, де <math>S^n</math> - [[сфера]] в <math>(n+1)</math>-мірному [[Лінійний простір|лінійному просторі]], то існують такі дві діаметрально протилежні точки <math>a, b \in S</math>, що <math>f(a)=f(b)</math>. |
||
З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. |
З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. Це припускає, що [[температура|температура]] і [[атмосферний тиск|атмосферний тиск]] безперервно змінюються. |
||
Теорема була вперше сформульована [[Станіслав Улам|Станіславом Уламом]], а в [[1933]] році вона була доведена [[Кароль Борсук|Каролем Борсуком]]. |
Теорема була вперше сформульована [[Станіслав Улам|Станіславом Уламом]], а в [[1933]] році вона була доведена [[Кароль Борсук|Каролем Борсуком]]. |
Версія за 19:13, 9 листопада 2012
Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що якщо задана неперервна функція , де - сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що . З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються.
Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.
Наслідки
- З теореми Борсука — Улама випливає теорема Брауера про нерухому точку.
- Жодна підмножина не є гомеоморфною до .
- Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама)
- Для довільних компактних множин в існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.
Література
- K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
- Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
- L. Lyusternik and S. Shnirel’man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
- Borsuk-Ulam theorem implies the Brouwer fixed point theorem
- Allen Hatcher Algebraic Topology