Теорема Брауера про нерухому точку

Теорема Брауера про нерухому точку — теорема про наявність хоча б одної нерухомої точки функції F за деяких умов на F. Є основною для деяких більш загальних теорем.

Зокрема, будь-яке неперервне відображення замкнутої кулі в себе в скінченновимірному евклідовому просторі має нерухому точку. Брауер довів теорему для випадку $n=3$ в 1909 році.

Нехай для точки $x\in \mathbb {D} ^{n}$ маємо $f(x)\neq x.$ Сполучимо $f(x)$ та $x$ променем. Точку перетину променя $[f(x),x)$ із граничною сферою $S^{n-1}=\partial \mathbb {D} ^{n}$ позначмо $y=g(x).$ Таким чином, маємо деформаційну ретракцію $g:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow S^{n-1};$ відповідна гомотопія задається формулою $F(x,t)=tx+(1-t)g(x).$