Гіперплощина

Гіперплощина
Формула	$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x=p+s_{1}u_{1}+\dotsb +s_{n-1}u_{n-1};s_{1},\dotsc ,s_{n-1}\in \mathbb {R} \}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Гіперплощина — підпростір евклідового або афінного простору корозмірності 1, тобто із розмірністю, на одиницю меншою, ніж об'ємний простір.

Наприклад, для двовимірного простору гіперплощиною є пряма, для тривимірного — площина тощо.

Рівняння гіперплощини

Нехай $\mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}$ — нормальний вектор до гіперплощини, тоді рівняння гіперплощини, що проходить через точку $\mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{k}$, має вигляд

$(\mathbf {n} ;\mathbf {x} )=(\mathbf {n} ;\mathbf {X} )$

Тут $(\cdot ;\cdot )$ — скалярний добуток в просторі $\mathbb {R} ^{k}$. В частковому випадку рівняння приймає вигляд

$n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots +n_{k}x_{k}=d=n_{1}X_{1}+n_{2}X_{2}+\ldots +n_{k}X_{k}$

Відстань від точки до гіперплощини

Нехай $\mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}$ — нормальний вектор до гіперплощини, тоді відстань від точки $\mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{k}$ до цієї гіперплощини задається формулою

$\rho ={\frac {|(\mathbf {r} -\mathbf {R} ;\mathbf {n} )|}{|\mathbf {n} |}}$

де $\mathbf {R}$ — довільна точка гіперплощини.