Теорема Борсука — Уляма: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування Мітка: УВАГА! Можливий вандалізм! |
|||
Рядок 5: | Рядок 5: | ||
=== Приклади та інтерпертація === |
=== Приклади та інтерпертація === |
||
З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. Це припускає, що [[температура|температура]] і [[атмосферний тиск|атмосферний тиск]] безперервно змінюються. Для випадку ж, коли ''n = 1'', випливає |
З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. Це припускає, що [[температура|температура]] і [[атмосферний тиск|атмосферний тиск]] безперервно змінюються. Для випадку ж, коли ''n = 1'', випливає: на земному [[екватор|екваторі]] завжди існує пара протилежних точок із тією самою [[температура|температурою]] повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи [[Теорема Больцано-Коші|Теорему Больцано-Коші]]. |
||
== Наслідки == |
== Наслідки == |
Версія за 19:59, 9 листопада 2012
Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.
Теорема
Якщо задана неперервна функція , де - сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що .
Приклади та інтерпертація
З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються. Для випадку ж, коли n = 1, випливає: на земному екваторі завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.
Наслідки
- З теореми Борсука — Улама випливає теорема Брауера про нерухому точку.
- Жодна підмножина не є гомеоморфною до .
- Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама)
- Для довільних компактних множин в існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.
Література
- K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
- Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
- L. Lyusternik and S. Shnirel’man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
- Borsuk-Ulam theorem implies the Brouwer fixed point theorem
- Allen Hatcher Algebraic Topology
- Borsuk-Ulam Theorem - Explained by a Youtube Nerd (відео, eng.)
- Лемма Борсука і Теорема Борсука-Улама (відео, eng.)