Теорема Борсука — Уляма: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Мітка: УВАГА! Можливий вандалізм! |
|||
Рядок 8: | Рядок 8: | ||
== Наслідки == |
== Наслідки == |
||
* З теореми Борсука — Улама випливає [[теорема Брауера про нерухому точку]]. |
* З теореми Борсука — Улама випливає [[теорема Брауера про нерухому точку]]<ref>{{cite journal| title = Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction |first = Francis Edward | last = Su | journal = The American Mathematical Monthly | volume= 104| number=9 |month=Nov.|year=1997|pages= 855–859|url=http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/borsuk.pdf}}</ref>. |
||
* Жодна підмножина <math>\R^n</math> не є [[гомеоморфізм|гомеоморфною]] до <math>S^n</math>. |
* Жодна підмножина <math>\R^n</math> не є [[гомеоморфізм|гомеоморфною]] до <math>S^n</math>. |
||
* Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо <math>S^n</math> покривається ''n'' + 1 [[відкрита множина|відкритою множиною]], тоді одна з цих пар містить (''x'', −''x'') — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама) |
* Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо <math>S^n</math> покривається ''n'' + 1 [[відкрита множина|відкритою множиною]], тоді одна з цих пар містить (''x'', −''x'') — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама) |
Версія за 20:04, 9 листопада 2012
Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.
Теорема
Якщо задана неперервна функція , де - сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що .
Приклади та інтерпертація
З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються. Для випадку ж, коли n = 1, випливає: на земному екваторі завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.
Наслідки
- З теореми Борсука — Улама випливає теорема Брауера про нерухому точку[1].
- Жодна підмножина не є гомеоморфною до .
- Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама)
- Для довільних компактних множин в існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.
Література
- K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
- Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
- L. Lyusternik and S. Shnirel’man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
- Su, Francis Edward (Nov. 1997). Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction (PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855—859.
- Allen Hatcher Algebraic Topology
- Borsuk-Ulam Theorem - Explained by a Youtube Nerd (відео, eng.)
- Лемма Борсука і Теорема Борсука-Улама (відео, eng.)
- ↑ Su, Francis Edward (Nov. 1997). Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction (PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855—859.