Обернена функція

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Функція $f$ і обернена їй функція $f^{-1}$. Якщо $f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$

Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).

Визначення

Функція $g:Y\to X$ називається оберненою до функції $f:X\to Y$, якщо виконані наступні рівності:

• $f(g(y))=y$ для всіх $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для всіх $x\in X.$

Існування

Щор знайти обернену функцию, потрібно розв'язати рівняння $y=f(x)$ відносно $x$. Якщо воно має більше чим один корінь, то функції, оберненої до $f$ не існує. Таким чином, функція $f(x)$ обернена на проміжку $(a;b)$тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції $F(y)$ виразити $y$ із рівняння $x-F(y)=0$ можливо тільки в тому випадку, коли функція $F(y)$ строго монотонна (см. теорема про неявну функцію). Тим не меньше, неперервну функцію завжди можно обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, ${\sqrt {x}}$є оберненою функцією до $x^{2}$ на $[0,+\infty )$, хоча на проміжку $(-\infty ,0]$обернена функція інша: $-{\sqrt {x}}$.

Якщо композиція функцій f o g = E_Y, де E: Y→Y - тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = E_Yі g o f = E_X, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f^-1. Тобто f^-1(f(x))=f(f^-1(x))=x.

Не слід плутати позначку f^-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

$\ f\colon x\to 3x+2$

$\ f^{-1}\colon x\to (x-2)/3$

Див. також

• Функція (математика)
• Тотожна функція
• Композиція функцій

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.