Алгебричний многовид: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Рядок 19: | Рядок 19: | ||
:<math>I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0 \quad \forall x \in V\}</math> |
:<math>I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0 \quad \forall x \in V\}</math> |
||
Для будь-якої алгебраїчної множини <math> V\,</math> '''координатним кільцем''' або '''структурним кільцем ''' називається [[фактор-кільце]] многочленів |
Для будь-якої алгебраїчної множини <math> V\,</math> '''координатним кільцем''' або '''структурним кільцем ''' називається [[фактор-кільце]] многочленів по цьому ідеалу. |
||
=== Проективні многовиди === |
=== Проективні многовиди === |
Версія за 22:05, 9 грудня 2010
В класичній алгебраїчній геометрії алгебраїчний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.
Визначення
Розглядаються чотири види алгебраїчних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.
Афінні многовиди
Нехай є алгебраїчно замкнуте поле і — n-мірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:
Підмножина , множини називається афінною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто афінними многовидами.
Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.
Для нехай — ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.
Для будь-якої алгебраїчної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.
Проективні многовиди
Нехай — n-мірний проективний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:
Підмножина , множини називається проективною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.
Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.
Основні властивості
- Афінна алгебраїчна множина є алгебраїчним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
- Довільна непорожня афінна алгебраїчна множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебраїчних многовидів.
Див. також
Посилання
Ю.Дрозд. Алгебраїчна геометрія і її застосування.Курс лекцій
Література
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
- David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
- David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
- David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.