Теорема Фенхеля — Моро
Теорема Фенхеля — Моро — необхідна і достатня умова того, що дійснозначна функція дорівнює своєму дворазовому опуклому спряженню. При цьому для будь-якої функції вірно, що [1][2].
Твердження можна розглядати як узагальнення теореми про біполяру[en][1]. Її використовують у теорії двоїстості для доведення сильної двоїстості (через функцію збурень[en]).
Для скінченного випадку теорему довів Вернер Фенхель 1949 року і для нескінченновимірного — Жан-Жак Моро[ru] 1960 року[3].
Нехай — гаусдорфів локально опуклий простір. Для будь-якої функції зі значеннями на розширеній числовій прямій випливає, що , де — опукле спряження до тоді й лише тоді, коли виконується одна з таких умов:
У геометричному формулюванні теорема стверджує, що необхідною та достатньою умовою того, щоб надграфік функції був перетином надграфіків афінних функцій, є опуклість і замкнутість цієї функції[3].
- ↑ а б в Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
- ↑ Zălinescu, 2002, с. 75–79.
- ↑ а б Тихомиров В. Геометрия выпуклости. — Квант. — 2003. — № 4.
- ↑ Lai, Lin, 1988, с. 85–90.
- ↑ Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181.
- Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — № 6(144). — С. 51–116.
- Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
- Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
- Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. — ISBN 981-238-067-1.
- Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 103, вип. 1 (May). — DOI:.
- Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вип. 5.
