Характеристична підгрупа

Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна відносно всіх автоморфізмів групи. Тобто підгрупа $H\leqslant G$ є характеристичною, якщо для кожного автоморфізму $\varphi \colon G\to G$ групи $G$ і для кожного елемента $h\in H$ виконується $\varphi (h)\in H$.

Властивості

• Якщо підгрупа є характеристичною, вона є нормальною, зворотне твердження невірне.

Наприклад якщо група G є прямим добутком H × H, то підгрупи {1} × H і H × {1} є нормальними, але не є характеристичними (зокрема не є інваріантними щодо автоморфізму (x, y) → (y, x))

• Якщо N є нормальною підгрупою групи G, а A є характеристичною підгрупою групи N, то Aє нормальною підгрупою групи G.

Для деякого $g\in G$ визначимо внутрішній автоморфізм таким чином: $\varphi _{g}(h)=g^{-1}hg.$ Оскільки група N нормальна то за означенням маємо, що $\varphi (N)=N$ тобто $\varphi _{g}$ є автоморфізмом групи N. Відповідно оскільки A є характеристичною підгрупою групи N то вона інваріантна щодо усіх таких $\varphi _{g}$ тобто є нормальною.

• Якщо N є характеристичною підгрупою групи G, і A є характеристичною підгрупою групи N, то іAє характеристичною підгрупою групи G.

Доводиться ідентично до попереднього з заміною $\varphi _{g}$ на довільний автоморфізм.

Приклади

• Будь-яка підгрупа циклічної групи характеристична.
• Центр групи є характеристичною підгрупою.

Дійсно нехай $\varphi \colon G\to G$ деякий автоморфізм групи і $x\in Z(g)$ деякий елемент, що належить центру групи. Тоді $\varphi (x)\varphi (g)=\varphi (xg)=\varphi (gx)=\varphi (g)\varphi (x),\forall g\in G$ і оскільки $G=\{\varphi (g)|g\in G\}$ то маємо $\varphi (g)\in Z(G)$.

• Підгрупа Фраттіні, що визначається як перетин всіх максимальних підгруп, є характеристичною підгрупою.
• Норма групи

Див. також

• Нормальна підгрупа

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)