Циклічна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні ng, де ).

Формально, для мультиплікативних груп:

для адитивних:

Приклади[ред.ред. код]

  • Група цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
  • Група цілих чисел за модулем n з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
  • Група коренів з n-го степеня з 1 (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості[ред.ред. код]

Це випливає з асоціативності групи.
  • Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі , а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі .
Справді, для нескінченної групи можна взяти в якості ізоморфізму відображення, що переводить в
Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що та
  • У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: 1 та -1; для скінченної групи порядку n їх кількість рівна функції Ейлера тобто кількості чисел менших від n і взаємно простих з n.
Для скінченної циклічної групи елемент k є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з n. Тоді існують для яких виконується тобто Відповідно і так для всіх елементів.
Навпаки якщо то ak-1 ділиться на n тобто рівне nb для деякого цілого b. Тоді ak-bn=1? що можливо лише для взаємно простих чисел.
Є наслідком теореми Лагранжа.
  • Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи[ред.ред. код]

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай — циклічна група і — її підгрупа. Вважатимемо, що і не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай — твірний елемент групи , а — найменше додатне ціле число, таке що . Твердження:

Відповідно, .
 
Нехай .
.
Згідно з алгоритмом ділення
.
.
Зважаючи на вибір і те, що , одержуємо .
.
Відповідно, .

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]