Циклічна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні , де ).

Формально, для мультиплікативних груп:

для адитивних:

Приклади[ред. | ред. код]

  • Група цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
  • Група цілих чисел за модулем з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
  • Група коренів з -го степеня з (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості[ред. | ред. код]

Це випливає з асоціативності групи.
  • Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі , а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі .
Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить в .
Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що та
  • У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: та ; для скінченної групи порядку їх кількість рівна функції Ейлера тобто кількості чисел менших від і взаємно простих з .
Для скінченної циклічної групи елемент є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з . Тоді існують для яких виконується тобто . Відповідно і так для всіх елементів.
Навпаки якщо то ділиться на тобто рівне для деякого цілого . Тоді ? що можливо лише для взаємно простих чисел.
Є наслідком теореми Лагранжа.
  • Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи[ред. | ред. код]

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай — циклічна група і — її підгрупа. Вважатимемо, що і не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай — твірний елемент групи , а — найменше додатне ціле число, таке що . Твердження:

Відповідно, .
Нехай .
.
Згідно з алгоритмом ділення
.
.
Зважаючи на вибір і те, що , одержуємо .
.
Відповідно, .

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]