Хвильове рівняння акустики

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У фізиці, в хвильове рівняння акустики описує поширення акустичної хвилі через матеріальне середовище, яке є диференціальним рівнянням другого роду з частинними похідними.  Рівняння описує еволюцію акустичного тиску або швидкості u як функції, яка залежить від координат х і часу . Спрощена форма рівняння описує акустичні хвилі тільки в одному просторовому вимірі, в той час як більш загальна форма описує хвилі в трьох вимірах.

Хвильове рівняння акустики був важливою точкою відліку у розвитку електромагнітного хвильового рівняння у Кельвінському майстер-класі в університеті Джонса Хопкінса.[1]

Одновимірний випадок

[ред. | ред. код]

Рівняння

[ред. | ред. код]

Річард Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в справу в речовині в одному вимірі  як:

де акустичний тиск і швидкість звуку.[2]

Розв'язування

[ред. | ред. код]

За умови, що швидкість є константою, яка не залежить від частоти (бездисперсійний випадок), то найбільш загальний розв'язок має вигляд

де і — будь-які двічі диференційовані функції. Це може бути зображено як суперпозицію двох хвиль довільного профілю, одна () пересуваються вгору по осі x, а інша () вниз по осі x зі швидкістю . У частинному випадку синусоїдальної хвилі, яка рухається в одному напрямку, одна з цих функцій є синусоїдою, а інша рівна нулю, що дає нам такий розв'язок:

.

де кутова частота хвилі, а — її хвильове число.

Отримання

[ред. | ред. код]

Хвильове рівняння можуть бути отримано на основі лінеаризованого одновимірного рівняння неперервності, лінеаризованого одновимірного рівняння сил і рівняння стану.

Рівняння стану (рівняння стану ідеального газу)

В адіабатичному процесі, тиск Р як функція від густини  може бути лінеаризована до

де C — деяка константа. Розбиваючи тиск і густину на їхні середні і загальні компоненти і вважаючи, що :, отримаємо:

.

Адіабатичний об'ємний модуль для рідини визначається як

який дає результат

.

Ущільнення, s, визначається як зміна густини для даної рідини.

Лінеаризоване рівняння стану набуває вигляду

де p - це звуковий тиск ().

Рівняння неперервності (збереження маси) в одному вимірі має вигляд

.

Тут u — це швидкість потоку рідини. Рівняння знову повинно бути лінеаризоване і змінні поділені на їх середнє та змінні складові.

Перегруповуючи і зазначивши, що зміна густини навколишнього середовища не залежить від часу і положення, що ущільнення, помножене на швидкість — дуже мале число, отримаємо:

Рівняння сили Ейлера (збереження імпульсу) є останнім з необхідних компонентів. В одновимірному випадку рівняння має вигляд:

,

де являє собою конвективною похідною, яка є похідною в точці, яка рухається зі середовищем.

Лінеаризація змінних:

.

Перегруповуючи і нехтуючи малими членами, результуюче рівняння стане лінеаризованим одновимірним рівнянням Ейлера:

.

Взявши похідну за часом в рівнянні неперервності і просторову похідну в рівнянні сили, отримаємо:

.

Домноживши перше на , віднявши друге, і підставляючи в лінеаризоване рівняння стану, отримаємо

.

Остаточний результат

,

де — швидкість поширення.

Трьохвимірний випадок

[ред. | ред. код]

Рівняння

[ред. | ред. код]

Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в речовині у трьох вимірах:

де оператор Лапласа, акустичний тиск і швидкість звуку.

Подібний вигляд хвильового рівняння, але для векторного поля швидкості частинок:

..

У деяких ситуаціях, це рівняння є більш зручне для розв'язку хвильового рівняння для абстрактного скалярного поля потенціалу швидкості, яке має вигляд

з якого виводяться фізичні величини — швидкість частинок і акустичний тиск:

,
.

Розв'язування

[ред. | ред. код]

Розв'язки знаходяться шляхом розділення змінних в різних системах координат. Вони є розв'язками комплексної амплітуди, тобто вони мають неявну часову залежність від фактора , де кутова частота. Явна залежність від часу має вигляд

Тут хвильове число.

Декартові координати

[ред. | ред. код]
.

Циліндричні координати

[ред. | ред. код]
.

Сферичні координати

[ред. | ред. код]
.

Посилання

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]

1. Літинський Святослав Володимирович. Чисельне розв’язування мішаних задач для хвильового рівняння методом перетворення Лаґерра та граничних інтегральних рівнянь.