Розділення змінних

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці метод відокремлення змінних є одним з методів для знаходження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними, які можна переписати таким чином, щоб кожна з двох змінних містилися виключно по різні боки рівняння (по різні боки від знака «дорівнює»).

Звичайні Диференціальні Рівняння (ЗДР)[ред.ред. код]

Нехай дано диференціальне рівняння в наступній формі:

яке ми можемо зпростити використовуючи заміну :

Вважаючи що h(y) ≠ 0, ми можемо рознести компоненти, що залежать від x та від y по різні боки цього рівняння, щоб отримати:

Тут dx (чи dy) можна розглядати на спрощеному рівні лише як зручний запис, що допомагає запам'ятати методику маніпуляцій. Формальне визначення dx як диференціалу є більш глибоким і просунутим поняттям.

Альтернативний запис[ред.ред. код]

Ті, кому не подобається запис Лейбніца, можуть використовувати наступну форму запису:

але з цього запису не так очевидно, чому метод називають саме "розділенням змінних".

Інтегруючи обидві частини рівняння по , ми отримуємо

або, що те ж саме,

завдяки застосуванню правила підстановки при інтегруванні.

Коли проінтегрувати окремо вирази у лівій та правій частині рівняння, то можна знайти його розв'язок:

Слід зазначити, що немає необхідності використовувати тут дві константи інтегрування, оскільки достаньо лише однієї константи .

Зверніть увагу, що метод розділення змінних дозволяє нам розірвати диференціал на окремі частини. Це у свою чергу дозволяє нам зкористатися зручним методом для розв'язку диференційних рівняннь даного типу, як це показано в наступних прикладах.

Приклад (I)[ред.ред. код]

Звичайне диференціальне рівняння

можна записати як

вважаючи що . Якщо взяти , а , тоді ми можемо записати дане діференціальне рівняння у вигляді рівняння (1), поданого вище. Відповідно, у поданому рівнянні можна виконати розділення змінних. Як і раніше, ми розглядаємо та як певні величини, на які ми можемо поділити або помножити обидві частини рівняння. В даному випадку, помноживши обидві частини рівняння на та поділивши їх на , ми отримаємо:

Таким чином, ми «розділили» змінні x та y одну від одної, оскільки змінна x та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у правій частині рівняння, в той час як змінна y та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у лівій частині.

Інтегруючи обидві частини рівняння, ми отримуємо:

що після зпрощення, застосовуючи метод інтегрування простих дробів, перетвориться на

й дасть в результаті:

де C є константою інтегрування. Здійснивши прості алгебраїчні перетворення, отримуємо простий розв'язок для y:

де є константою. Щоб переконатися у правильності даного розв'язку досить продиференціювати його по й отримати те ж саме рівняння, з якого ми починали даний приклад. (Слід бути уважним з абослютними величинами при розв'язанні даного рівняння, оскільки різні знаки абсолютної величини змінюють знак константи B на протилежний. Випадок B = 0 дає розв'язок y = 1, який обговорюється нижче.)

Необхідно зазначити, що оскільки ми ділили обидві частини рівняння на та , слід перевірити чи значення та є розв'язками даного диференціального рівняння. В даному випадку обидва ці значення є розв'язками нашого рівняння (див. також особливі розв'язки).

Приклад (II)[ред.ред. код]

Ріст населення часто моделюють використовуючи наступне диференційне рівняння:

де є функцією зміни населення з часом , є швидкістю росту, а відповідає здатності виживати в даному середовищі.

Це диференційне рівняння можна розв'язати застосовуючи метод розділення змінних.

Щоб взяти інтеграл у лівій частині рівняння, отриманий дріб слід спочатку переписати як

а потім спростити до

Таким чином ми маємо, що:

Нехай .

Відповідно, розв'язок цього диференціального рівняння подається у формі

Щоб визначити значення константи приймемо, що при початкове населення становило . Тоді отримуємо:

Приймаючи до уваги що , знаходимо вираз для :

Тому кінцевий розв'язок цього диференціального рівняння має вигляд:

Диференціальні рівняння в частинних похідних[ред.ред. код]

Маючи диференціальне рівняння в частинних похідних для функції

що залежить від n змінних, деколи можна здогадатися, що розв'язок має форму

або

що переводить диференціальне рівняння з частинними похідними у систему звичайних диференціальних рівнянь. Зазвичай кожна незалежна змінна створює константу розділення, що не може бути визначена з одного лише вихідного рівняння.


Приклад (I)[ред.ред. код]

Припустимо, що F є функцією змінних x, y та z, і що ми намагаємося роз'вязати наступне рівняння в частинних похідних:

Спробуємо шукати розв'язок у формі

Підставляючи рівняння (2) в (1), ми отримаємо

Зверніть увагу, що X′(x) є функцією лише від x, Y′(y) є функцією лише від y, а Z′(z) є функцією лише від z. Для того, щоб рівняння (1) виконувалося для всіх x, y та z, кожен з доданків у рівнянні (3) повинен бути константою, інакше кожен з доданків вносив би змінність, що не скасовувалась би іншими двома доданками. Тому

де константи c1, c2, c3 задовольняють рівність

Рівняння (4) насправді є системою з трьох звичайних диференціальних рівнянь. В даному випадку вони тривіальні й можуть бути розвязані простим інтегруванням, призводячи до:

де константа інтегрування c4 визначається з початкових умов.

Приклад (IIa) Лапласіан[ред.ред. код]

Розглянемо диференціальне рівняння

Припускаючи, що змінні тут розділяються, будемо шукати розв'язок у формі

В загальному випадку розв'язок буде нескінченною лінійною комбінацією функцій вищезгаданої форми. В деяких спеціальних випадках (див. Приклад (IIb) нижче) припущення про розділення змінних виконується точно.

Виконуючи підстановку, отримаємо

далі розділимо все рівняння на X(x):

а потім на Y(y):

Тепер X′′(x)/X(x) є функцією лише від x, а (Y′′(y)+λY(y))/Y(y) є функцією лише від y. Для того, щоб їх сума була нульовою при всіх можливих значеннях x та y, обидві ці функції мають бути константами. Тому

де k є константою розділення. Це рівняння розбивається на звичайні диференціальні рівняння

та

які можна розв'язати відповідним чином. Якщо вихідне рівняння було крайовою задачею, то при цьому треба використати відповідні граничні умови. Це загальновживаний метод, що використовується у багатьох підручниках з фізики (від електромагнетизму до квантової механіки), й він буде дуже корисним для будь-якого студента-фізика.

Приклад (IIb) Власні значення та власні функції Лапласіана[ред.ред. код]

У прямокутній області (наприклад при [0, L1] × [0, L2]) з граничними умовами Діріхле припущення про розділення змінних, зроблене у прикладі (IIa), виконується точно. Це дозволяє нам отримати явні вирази для власних функцій через тензорні добутки власних функцій другої похідної, отриманих для одновимірного випадку:

Власні значення будуть сумою одновимірних власних значень другої похідної. У цьому прикладі,

Матриці[ред.ред. код]

Матрична форма розділення змінних - це сума Кронекера.

Приклад: 2D Дискретний Лапласіан на регулярній ґратці[ред.ред. код]

де та - одновимірні оператори Лапласа для напрямків x та y відповідно, а - одиничні матриці відповідного розміру. Див. докладніше у головній статті сума Кронекера для дискретних Лапласіанів (Kronecker sum of discrete Laplacians).

Джерела[ред.ред. код]

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
  • Основний матеріал було взято з англійської Вікіпедії й доповнено.

Посилання[ред.ред. код]