Теорема Островського

В теорії чисел, теорема Островського, дає класифікацію всіх абсолютних значень на полі раціональних чисел. Окрім того теоремою Островського також називають пов'язані результати для довільних числових полів і про архімедові абсолютні значення для довільного поля чи тіла.

Допоміжні означення і твердження теореми

Абсолютні значення $|\cdot |$ і $|\cdot |_{\ast }$ на полі K є еквівалентними якщо існує додатне дійсне число c > 0 таке що

$|x|_{\ast }=|x|^{c}{\text{ for all }}x\in \mathbf {K} .$

Тривіальним абсолютним значенням на полі K є абсолютне значення

$|x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0,\\1,&{\text{if }}x\neq 0.\end{cases}}$

Дійсним абсолютним значенням на полі раціональних чисел Q є стандартний модуль числа тобто

$|x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

Для простого числа p, p-адичне абсолютне значення на Q можна задати в такий спосіб: довільне раціональне число x, можна в єдиний спосіб записати як $x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}$, де a і b цілі числа, що не діляться на p, b > 0 і n є цілим числом; тоді

$|x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0,\\p^{-n},&{\text{if }}x\neq 0.\end{cases}}$

Теорема Островського: довільне нетривіальне власне значення на полі раціональних чисел є еквівалентним або дійсному власному значенню або p-адичному абсолютному значенню для деякого простого числа p.

Доведення

Розглянемо деяке абсолютне значення на множині $(\mathbf {Q} ,|\cdot |_{\ast })$. Є два можливі випадки,

(i) $\exists {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }>1$

(ii) $\forall {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }\leq 1$

Достатньо розглянути значення лише на цілих числах більших 1. Справді, якщо число c з множини R⁺ є таким, що для всіх цілих чисел більших 1, $|n|_{\ast }=|n|_{\ast \ast }^{c}$ тоді ця рівність також тривіально виконується для 0 і 1, а для додатних раціональних чисел

$\left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast }={\frac {|m|_{\ast }}{|n|_{\ast }}}={\frac {|m|_{\ast \ast }^{c}}{|n|_{\ast \ast }^{c}}}=\left({\frac {|m|_{\ast \ast }}{|n|_{\ast \ast }}}\right)^{c}=\left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast \ast }^{c}.$

Для від'ємних раціональних чисел:

$|{-x}|_{\ast }=|x|_{\ast }=|x|_{\ast \ast }^{c}=|{-x}|_{\ast \ast }^{c}.$

Випадок I: ∃n ∈ N   |n|_∗ > 1

Нехай a, b і n — натуральні числа і a, b > 1. Записавши bⁿ в системі числення з базою a отримаємо:

$b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\},\quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.$

Тоді, згідно властивостей абсолютних значень:

${\begin{aligned}|b|_{\ast }^{n}&=|b^{n}|_{\ast }\\&\leq am\max \left\{|a|_{\ast }^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{\ast }^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}$

Тому

$|b|_{\ast }\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{1/n}\max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}$

Проте ми маємо:

$(a(n\log _{a}b+1))^{1/n}\to 1,\quad {\text{as}}\quad n\to \infty$

звідки випливає що:

$|b|_{\ast }\leq \max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}.$

Тепер виберемо 1 < b ∈ N таке що |b|_∗ > 1. Використовуючи це в попередньому отримаємо, що |a|_∗ > 1 незалежно від вибору a (в іншому випадку $|a|_{\ast }^{\log _{a}b}\leq 1$ і тому $|b|_{\ast }\leq 1$). Тож для довільного вибору a, b > 1 отримуємо

$|b|_{\ast }\leq |a|_{\ast }^{\log b/\log a},$

тобто

${\frac {\log |b|_{\ast }}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{\ast }}{\log a}}.$

Згідно симетрії, ця нерівність є рівністю.

Оскільки a, b були довільними, існує константа, $\lambda \in \mathbf {R} ^{+}$ для якої $\log |n|_{\ast }=\lambda \log n$, тобто $|n|_{\ast }=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }$ для всіх цілих чисел n > 1. Тому, згідно попереднього, $|x|_{\ast }=|x|_{\infty }^{\lambda }$, що й доводить еквівалентність із звичайним модулем числа.

Випадок II: ∀n ∈ N   |n|_∗ ≤ 1

Оскільки абсолютне значення не є тривіальним, існує натуральне число для якого |n|_∗ < 1. Розклавши це число на прості множники,

$n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}$

можна помітити, що |p|_∗ має бути меншим 1, хоча б для одного простого множника p = p_j. Доведемо, що абсолютне значення може бути менше 1 лише для одного простого числа.

Припустимо, що p, q є двома різними простими числами власне значення яких є меншим 1. Спершу нехай $e\in \mathbf {N} ^{+}$ таке число, що $|p|_{\ast }^{e},|q|_{\ast }^{e}<{\tfrac {1}{2}}$. Згідно алгоритму Евкліда, існують числа m, n ∈ Z для яких виконується рівність $mp^{e}+nq^{e}=1$. Звідси отримуємо

$1=|1|_{\ast }\leq |m|_{\ast }|p|_{\ast }^{e}+|n|_{\ast }|q|_{\ast }^{e}<{\frac {|m|_{\ast }+|n|_{\ast }}{2}}\leq 1,$

що приводить до суперечності.

Отож маємо |p_j|_∗ = α < 1 для деякого j і |p_i|_∗ = 1 для i ≠ j. Позначивши

$c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},$

отримуємо що для довільних натуральних чисел

$|n|_{\ast }=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{\ast }=\prod _{i<r}\left|p_{i}\right|_{\ast }^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{\ast }^{e_{j}}=(p^{-e_{j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.$

Як і вище для довільних раціональних чисел $|x|_{\ast }=|x|_{p}^{c}$, тобто абсолютне значення є еквівалентним з p-адичним абсолютним значенням.

Узагальнення теореми Островського

Теоремою Островського часто також називають більш загальні твердження для довільних числових полів, загальних полів чи тіл.

Твердження для числових полів

Нехай $K$ — алгебричне числове поле, тобто скінченне розширення поля раціональних чисел і ${\mathcal {O}}_{K}$— його кільце цілих чисел. Оскільки ${\mathcal {O}}_{K}$ є кільцем Дедекінда, то для будь-якого його простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ і будь-якого елемента $\alpha \in K^{\times }$ можна записати $(\alpha )={\mathfrak {p}}^{n}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}^{-1},$ де $(\alpha )$ — головний ідеал породжений цим елементом, а ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ є ідеалами взаємно простими з ідеалом ${\mathfrak {p}}$. Тоді можна ввести нормування $v_{\mathfrak {p}}(\alpha )=m$ і абсолютне значення $|\alpha |_{\mathfrak {p}}:=N({\mathfrak {p}})^{-v_{\mathfrak {p}}(\alpha )},$ де $N({\mathfrak {p}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}|$ — норма ідеала ${\mathfrak {p}}$.

Введена так функція $|\alpha |_{\mathfrak {p}}$ дійсно є абсолютним значенням і з китайської теореми про лишки випливає, що для двох різних простих ідеалів ці абсолютні значення не є еквівалентними.

Іншими прикладами абсолютного значення є модулі числа індуковані вкладенням числового поля в поле дійсних чи комплексних чисел. А саме якщо $\sigma$ є таким вкладенням то $|\alpha |_{\sigma }:=|\sigma (\alpha )|$ де в правій частині позначений звичайний модуль дійсного чи комплексного числа. Це абсолютне значення буде архімедовим. Спряжені комплексні вкладення визначають одне абсолютне значення і навпаки, якщо два різні дійсні чи комплексні вкладення задають одне абсолютне значення то вони є комплексно спряженими.

Теорема Островського для числових полів стверджує, що розглянуті вище приклади абсолютних значень є фактично єдиними для числових полів: якщо $K$ — алгебричне числове поле, то будь-яке його неархімедове нетривіальне абсолютне значення є еквівалентним $|\alpha |_{\mathfrak {p}}$ для деякого простого ідеала ${\mathfrak {p}}$, а будь-яке архімедове абсолютне значення є еквівалентним $|\alpha |_{\sigma }$ для деякого дійсного чи комплексного вкладення $\sigma$.

Твердження для раціональних функцій

Нехай тепер $F$ — поле і $F(T)$ — поле раціональних функцій від однієї змінної над $F$. Оскільки $F(T)$ є полем часток кільця $F[T]$, що є кільцем головних ідеалів, то на $F(T)$ можна ввести нормування $v_{\pi (T)}$ пов'язане із незвідним многочленом $\pi (T)$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Для довільного $f\in F(T)$ його значення визначається з розкладу $f(T)=\pi ^{v_{\pi }(f)}(T)g(T)/h(T)$, де многочлени $g(T),h(T)$ є взаємно простими з $\pi (T)$.

Для довільного дійсного числа $c\in (0,1)$ можна задати абсолютне значення породжене введеним нормуванням: $|f|_{\pi }:=c^{v_{\pi }(f)}.$ Для різних таких $c$ абсолютні значення будуть еквівалентними, натомість для різних незвідних многочленів зі старшим коефіцієнтом рівним 1 відповідні абсолютні значення не будуть еквівалентними.

Окрім того на полі раціональних функцій можна ввести ще одне неархімедове абсолютне значення як: $|f|_{\infty }:=c^{-\operatorname {deg} (f)}.$ Це абсолютне значення не буде еквівалентним попереднім.

Теорема Островського для числових полів: будь-яке нетривіальне абсолютне значення на полі $F(T)$, що є тривіальним на $F$ є еквівалентним або $|f|_{\pi }$ для деякого незвідного многочлена $\pi (T)$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1 або $|f|_{\infty }.$

Архімедові абсолютні значення на полі та тілі

Теоремою Островського також називають пов'язаний результат, що описує з точністю до еквівалентності всі архімедові абсолютні значення на довільному полі чи, більш загально, тілі: якщо $|x|$  — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує таке вкладення K на деяке всюди щільне підтіло тіла $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ або $\mathbb {H}$ (тіло кватерніонів), що $|x|$ є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ або $\mathbb {H}$; якщо K є полем то всі можливі вкладення є на поля $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$.

Див. також

• P-адичне число
• Абсолютне значення (алгебра)
• Модуль числа

Література

• Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic Number Fields (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
• Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (вид. 2-е). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Ostrowski, Alexander (1916). Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica (вид. 2-е). 41 (1): 271—284. doi:10.1007/BF02422947. ISSN 0001-5962.^{[недоступне посилання]}