Тіло (алгебра)

В алгебрі тілом називається алгебраїчна структура, всі елементи якої утворюють абелеву групу щодо дії додавання, а всі елементи, крім нуля,— мультиплікативну групу і, крім того, обидві групові операції зв'язані між собою законами дистрибутивності. Якщо множення в тілі комутативне, то тіло називається комутативним або полем.

Формальне визначення

Множина $K$ з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:

1. $a + b = b + a \,$   (комутативність);
2. $(a + b) + c = a + (b + c)\,$   і   $(a b)c = a(bc)\,$   (асоціативність);
3. Існують такі елементи $0, 1 \in K \,$, що для довільного $a \in K$ виконується $a + 0 = 0 + a = a 1 = 1 a = a\,$  (існування нейтрального елемента);
4. $a (b + c) = a b + a c\,$   і   (a + b) c = a c + bc  (дистрибутивність);
5. Для довільного $x \in K$ існують $y,z \in K$, такі, що $y + x = x + y = 0$   і   $zx =xz = 1$  ( існування зворотного елемента).

Властивості

• Теорема Веддерберна — довільне скінченне тіло є скінченним полем.
• Кожне тіло є алгеброю з діленням над своїм центром.
• Якщо S є простим модулем над кільцем R, то множина всіх ендоморфізмів S є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля

Приклади

• Тіло кватерніонів $\mathbb{H}$.
• Тіло дісних чисел $\mathbb{R}$

Джерела

• Е.Артін, Теорія Галуа. — К.: Радянська школа, 1963

v