Кільце головних ідеалів

Кільце головних ідеалів — асоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві ідеали є головними, тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де $a \in R$. Кільце головних ідеалів без дільників нуля називається областю головних ідеалів.

Приклади

• Кільце цілих чисел;
• Кільце многочленів F[х] над полем F;
• Довільне евклідове кільце є областю головних ідеалів. Зворотне твердження невірне. Наприклад кільце $\Bbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]$ є областю головних ідеалів але не є евклідовим кільцем.

Властивості

• Комутативне кільце головних ідеалів є прямою сумою областей головних ідеалів і кілець головних ідеалів, що мають єдиний простий ідеал, що є нільпотентним.
• Якщо R — область головних ідеалів, то два ненульові елементи a, b кільця R мають найбільший спільний лівий дільник (a, b) і найменше спільне праве кратне [а, b], які визначаються як елементи, що задовольняють рівності:

$aR + bR = (a, b)R;\quad aR \cap bR = [a,b]R.$

Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.

• Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники.
• Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть максимальні ідеали кільця).
• Довільне кільце головних ідеалів є кільцем Нетер.

Модулі над кільцем головних ідеалів

Підмодуль N вільного модуля М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу $k \leq n$ над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси $a_1,a_2,\ldots a_n$ і $b_1,b_2,\ldots b_k$, що $b_j = e_ja_j, \, 1 \leq j \leq k$, де $e_j \in R$ і $e_j$ — є повним (тобто $e_jR \cap Re_j \supseteq R e_i R$) дільником елементів $e_i$ при j < i.

Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів $R/e_jR,\quad 1 \leq j \leq m$ , де $e_j \in R$ і $e_j$ — повний дільник $e_i$ при $j<i, e_j \neq 0$. Ця теорема узагальнює основну теорему про скінченнопороджені абелеві групи. Елементи $e_j,\quad 1 \leq j \leq m$, з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.

Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів $R/e_jR$, де $e_j \in R,\quad 1 \leq j \leq k$. Елементи $e_j,\quad 1 \leq j \leq k$, визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то $q_jR = 0$ або $q_jR = p_j^{n_j},\quad 1 \leq j \leq k$, де $p_j$ - незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників лінійних перетворень скінченновимірних векторних просторів.

Див. також

• Кільце Безу

Література

• Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
• Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;