Кільце головних ідеалів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце головних ідеалівасоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві ідеали є головними, тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де a \in R. Кільце головних ідеалів без дільників нуля називається областю головних ідеалів.

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

aR + bR = (a, b)R;\quad aR \cap bR = [a,b]R.
Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.
  • Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники.
  • Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть максимальні ідеали кільця).
  • Довільне кільце головних ідеалів є кільцем Нетер.

Модулі над кільцем головних ідеалів[ред.ред. код]

Підмодуль N вільного модуля М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу k \leq n над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси a_1,a_2,\ldots a_n і b_1,b_2,\ldots b_k, що b_j = e_ja_j, \, 1 \leq j \leq k, де e_j \in R і e_j — є повним (тобто e_jR \cap Re_j \supseteq R e_i R) дільником елементів e_i при j < i.

Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів R/e_jR,\quad 1 \leq j \leq m , де e_j \in R і e_j — повний дільник e_i при j<i, e_j \neq 0. Ця теорема узагальнює основну теорему про скінченнопороджені абелеві групи. Елементи e_j,\quad 1 \leq j \leq m, з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.

Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів R/e_jR, де e_j \in R,\quad 1 \leq j \leq k. Елементи e_j,\quad 1 \leq j \leq k, визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то q_jR = 0 або q_jR = p_j^{n_j},\quad 1 \leq j \leq k, де p_j - незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників лінійних перетворень скінченновимірних векторних просторів.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
  • Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;