Кільце Дедекінда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце Дедекіндаобласть цілісності R в якій кожен власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ідеалів. Свою назву ці кільця одержали від імені Ріхарда Дедекінда, який серед перших вивчав такі кільця в 70-их роках 19 століття.

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • Кільце Дедекінда володіє наступною характеризацією: комутативна область цілісності є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли
  1. R є кільцем Нетер,
  2. кожен власний простий ідеал кільця R максимальний,
  3. R цілозамкнуте кільце, тобто рівне своєму цілому замиканню в полі часток.

Іншими словами, кільце Дедекінда є нетеровим нормальним кільцем, розмірність Круля якого рівна одиниці.

  • Кільце R є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли напівгрупа дробових ідеалів цього кільця є групою. Кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда R можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця R.
  • Для кільця Дедекінда R виконується так звана китайська теорема про залишки: для даного скінченного набору ідеалів Ii і елементів xi кільця R, i=1,2,...,n система порівнянь x \equiv x_i \pmod {I_i} має розв'язок x \in R тоді і тільки тоді, коли x_i \equiv x_j \pmod {I_i + I_j}, для i \neq j.
  • Кільце Дедекінда R можна охарактеризувати також як кільце Круля розмірності один.
  • Кожне кільце Дедекінда є регулярним комутативним кільцем і всі його локалізації по максимальних ідеалах є кільцями дискретного нормування. Напівгрупа ненульових ідеалів кільця Дедекінда R ізоморфна напівгрупі Р дільників цього кільця.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]