Напівпростий лінійний оператор

Напівпростий лінійний оператор — лінійне перетворення $A$ векторного простору $V$ над полем $K$ для якого будь-який підпростір у $V$ , що є інваріантним щодо $A$ , має інваріантне пряме доповнення, тобто якщо $S\subset V$ — лінійний підпростір, для якого $A(S)\subset S$ , то також існує підпростір $T\subset V$ , такий що $A(T)\subset T$ і також $V=S\oplus T.$

Іншими словами, потрібно, щоб $A$ визначав на $V$ структуру напівпростого модуля над кільцем $K[A]$ .

У скінченновимірному випадку матриця, що є матрицею напівпростого лінійного перетворення називається напівпростою матрицею.

Приклади[ред. | ред. код]

Прикладами напівпростих матриць і відповідно лінійних перетворень для скінченновимірних евклідових просторів є:

Властивості[ред. | ред. код]

Властивість напівпростоти лінійних перетворень зберігається при переході до інваріантного підпростору $W\subset V$ і до фактор-простору $V/W$ .
Для скінченновимірних просторів лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли його мінімальний многочлен не має кратних множників.
У випадку простору над алгебрично замкнутим полем $K$ це еквівалентно тому, що лінійне перетворення є діагоналізовним.
Попереднє твердження буде справедливим і у випадку, коли всі власні значення лінійного перетворення належатимуть полю (не обов'язково алгебрично замкнутому), над яким визначений векторний простір.
Якщо поле $K$ є досконалим, то лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли воно є діагоналізовним у алгебричному замиканні поля.
Якщо $L$ — розширення поля $K$ і $A_{L}=A\otimes 1$ — продовження відображення $A$ на простір $V_{L}=V\otimes _{K}L$ , то з того що $A_{L}$ є напівпростим випливає що і $A$ є напівпростим. Якщо $L$ є сепарабельним над $K$ , то справедливим є і обернене твердження. Ендоморфізм $A$ називається абсолютно напівпростим, якщо $A_{L}$ є напівпростим для будь-якого розширення $L\supset K$ . Для цього необхідно і достатньо, щоб мінімальний многочлен не мав кратних коренів в алгебраїчному замиканні поля $K$ , тобто щоб ендоморфізм $A_{\bar {K}}$ був діагоналізовним.