Нормалізатор

В абстрактній алгебрі нормалізатором підмножини $U$ групи $G$ називається множина елементів $G$, які комутують загалом із підмножиною $U$, але не обов'язково з кожним її елементом, як у випадку централізатора. Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур,зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

Означення

Групи і напівгрупи

Нормалізатором підмножини $U$ в групі (або напівгрупі) $G$ за означенням називається підмножина

$\mathrm {N} _{G}(U)=\{g\in G\mid gU=Ug\}$

Означення відрізняється від означення централізатора тим, що в даному випадку не повинно обов'язково бути $gu=ug,\;\forall u\in U$, але для кожного $u\in U$ має існувати такий $v\in U$, що $gu=vg$.

Нормалізатор підмножини $U$ алгебри Лі (або кільця Лі) ${\mathfrak {L}}$ задається рівністю

$\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(U)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,u]\in U$ для всіх $u\in U\}$

Хоч це означення є стандартним для терміна «нормалізатор» в алгебрі Лі, слід зауважити, що ця конструкція є фактично ідеалізатором множини $U$ в ${\mathfrak {L}}$.

Властивості

Групи

• Нормалізатор довільної множини $U$ є підгрупою $G$.
• Централізатор $Z_{G}(U)$ завжди є нормальною підгрупою нормалізатора $N_{G}(U)$.
• Якщо $U$ є піднапівгрупою у $G$, то $N_{G}(U)$ містить $U$.
• Якщо $H$ є підгрупою $G$, то найбільша підгрупа, в якій $H$ є нормальною, це $N_{G}(H)$.
• Індекс нормалізатора $N_{G}(U)$ є рівним кількості класів спряженості $gUg^{-1}$ для множини $U$, тобто $|\{gUg^{-1}\mid g\in G\}|=[G:N_{G}(U)]$.
• Якщо задати гомоморфізм груп $T:G\to \operatorname {Inn} (G)$, як $T(x)(G)=T_{x}(G)=xgx^{-1}$, то можна описати $N_{G}(U)$ в термінах дії групи $\operatorname {Inn} (G)$ на $G$: стабілізатором $U$ у ($\operatorname {Inn} (G)$) є $T(N_{G}(U))$.

Кільця і алгебри Лі

• Якщо $U$ — адитивна підгрупа ${\mathfrak {L}}$, то $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(U)$ є найбільшим підкільцем Лі (або підалгеброю Лі), в якій $U$ є ідеалом Лі.
• Якщо $U$ — підкільце Лі кільця Лі $A$, то $U\subseteq \mathrm {N} _{A}(U)$.

Див. також

• Норма (теорія груп)
• Нормальна підгрупа
• Централізатор

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, т. 100 (вид. reprint of the 1994 original), Providence, RI: American Mathematical Society, с. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, т. 1 (вид. 2), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras (вид. republication of the 1962 original), New York: Dover Publications Inc., с. ix+331, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927
• Scott, W. R. (1987) [1964], Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3