Напівгрупа

Напівгрупа — алгебраїчна структура в абстрактній алгебрі з непорожньої множини та асоціативної бінарної операції, тобто асоціативна магма.

Відрізняється від групи тим, що для елементів множини може не існувати оберненого елемента і навіть може не існувати нейтрального елемента (одиниці).

Моноїд — напівгрупа з нейтральним елементом. Довільну напівгрупу можна перетворити в моноїд, добавивши до неї деякий елемент e і визначивши es = se = s для всіх елементів моноїда.

Гомоморфізм напівгруп

• Гомоморфізм між двома напівгрупами $(S,\ast)$ та $(S^{\, \prime},\bull)$ є функція $f:S \rightarrow S^\prime$ така, що

$\forall x,y \in S: f(x\ast y) = f(x)\bull f(y)$.

• Якщо функція $\ f$ є бієктивною, то воно є ізоморфізмом напівгруп.

Структура напівгрупи

Якщо $A,B \subset S$, то позначають $AB=\{ab: \; a \in A, b \in B\}$

• Підмножина A напівгрупи S називається під-напівгрупою, якщо вона замкнута відносно групової операції. Тобто AA ⊆ A. Перетином під-напівгруп в S є під-напівгрупа в S.

• Якщо підмножина A непорожня та AS (SA) ⊆ A, то A називають правим (лівим) ідеалом. Якщо A є одночасно лівим і правим ідеалом, то його називають двохстороннім ідеалом, чи просто ідеалом.

• Перетином під-напівгруп( чи ідеалів) є під-напівгрупа (чи ідеал); з чого слідує, що напівгрупа або має мінімальну під-напівгрупу (чи ідеал) або не має їх зовсім.

• Якщо в комутативній напівгрупі є найменьший ідеал, то він є групою.

Прикладом напівгрупи без найменьшого ідеала є натуральні числа з операцією додавання.

Приклади

• Натуральні числа $\ \N$ з операцією додавання є напівгрупою.
• Натуральні числа $\ \N$ з операцією множення є напівгрупою.
• Цілі числа $\ \Z$ з операцією множення є моноїдом.
• Ідеал кільця є напівгрупою відносно множення.
• Множина квадратних матриць розміру n з операцією множення є моноідом.

Література

• А.Г. Курош «Общая алгебра», — М.: Мир, 1973, 162 с
• П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с