Напівгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Напівгрупаалгебраїчна структура в абстрактній алгебрі з непорожньої множини та асоціативної бінарної операції, тобто асоціативна магма.

Відрізняється від групи тим, що для елементів множини може не існувати оберненого елемента і навіть може не існувати нейтрального елемента (одиниці).

Моноїд — напівгрупа з нейтральним елементом. Довільну напівгрупу можна перетворити в моноїд, добавивши до неї деякий елемент e і визначивши es = se = s для всіх елементів моноїда.

Гомоморфізм напівгруп[ред.ред. код]

\forall x,y \in S: f(x\ast y) = f(x)\bull f(y).

Структура напівгрупи[ред.ред. код]

Докладніше: Відношення Гріна

Якщо  A,B \subset S , то позначають  AB=\{ab: \; a \in A, b \in B\}

  • Підмножина A напівгрупи S називається під-напівгрупою, якщо вона замкнута відносно групової операції. Тобто AAA. Перетином під-напівгруп в S є під-напівгрупа в S.
  • Якщо підмножина A непорожня та AS (SA) ⊆ A, то A називають правим (лівим) ідеалом. Якщо A є одночасно лівим і правим ідеалом, то його називають двохстороннім ідеалом, чи просто ідеалом.
  • Перетином під-напівгруп( чи ідеалів) є під-напівгрупа (чи ідеал); з чого слідує, що напівгрупа або має мінімальну під-напівгрупу (чи ідеал) або не має їх зовсім.
  • Якщо в комутативній напівгрупі є найменьший ідеал, то він є групою.

Прикладом напівгрупи без найменьшого ідеала є натуральні числа з операцією додавання.

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • А.Г. Курош «Общая алгебра», — М.: Мир, 1973, 162 с
  • П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с