Ряд Гранді

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ряд Гранді — нескінченний ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, або:

 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \!\, .

Ряд названий на честь італійського католицького священика, філософа, математика і інженера Луїджі Гвідо Гранді, який в 1703 році розглянув його в книзі Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita.

Часткові суми ряду поперемінно рівні 1, 0, 1, 0, … , що означає, що ряд розходиться. Сума ряду за Чезаро дорівнює 1/2.

Основні міркування[ред.ред. код]

Якщо вважати ряд телескопічним:

 (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0 + 0 + 0 + \cdots = 0 \!\, .

Проте, після певних перетворень також можна отримати результат 1, що викликає протиріччя:

 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots = 1 \!\, .

Таким чином, різної розстановкою дужок у ряді Гранді, можна отримати суму і 0, і 1. (Варіації цієї ідеї мають назву "шахрайство Ейленберга-Мазура" і використовуються в теорії вузлів і алгебрі). Якщо вважати ряд Гранді розбіжною геометричною прогресією, то, використовуючи методи роботи з геометричними прогресіями, можна отримати третє значення, 1/2:

 s = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \!\,

отже,

 1 - s = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + \cdots ) = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = s \!\, ,

що дає

s = \frac{1}{2} \!\, .

Проте, у попередніх міркуваннях не враховується визначення «сума ряду». Важливо вміти брати частині ряду в дужки, а також проводити арифметичні дії з рядами. Щодо цього ряду можна дійти двох висновків:

  • Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не має суми.
  • ... але його сума повинна дорівнювати 1/2.

Розбіжність ряду[ред.ред. код]

У сучасній математиці сума ряду визначається як межа послідовності часткових сум, якщо вони існує. Послідовність часткових сум ряду Гранді: 1, 0, 1, 0, ... Очевидно, вона не збігається ні до якого числа (хоча і має дві граничні точки, 0 і 1). Таким чином, ряд Гранді розбігається.

Посилання[ред.ред. код]

  • Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
  • Devlin, Keith (1994). Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. ISBN 0-7167-6022-3. 
  • Kline, Morris (November 1983). «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine 56 (5). с. 307–314. doi:10.2307/2690371. 
  • Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2. 

Див. також[ред.ред. код]