Скінченнопороджена абелева група

У абстрактній алгебрі абелева група $(\mathbb{G},\;+)$ називається скінченнопородженою, якщо існує скінченна множина $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{G}$, така що $\forall x \in \mathbb{G}$ існує представлення:

$\ x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_s x_s,$

де $n_1,\;\ldots,\;n_s$ — цілі числа. В такому випадку кажуть, що $\ x_1,\;\ldots,\;x_s \$ породжує групу $\mathbb{G}$ або що $x_1,\;\ldots,\;x_s$ породжують $\mathbb{G}$.

Очевидно, кожна скінченна абелева група є скінченнопородженою. Скінченнопороджені абелеві групи мають порівняно просту структуру і можуть бути повністю класифіковані.

Приклади

• Цілі числа $(\Z,\;+)$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Числа по модулю $(\Z_n,\;+)$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Будь-який прямий добуток скінченного числа скінченнопороджених абелевих груп також є скінченнопородженою абелевою групою.

Група $(\Q,\;+)$ раціональних чисел не є скінченнопородженою: якщо $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \Q$, візьмемо натуральне число $w$, взаємно просте зі всіма їх знаменниками; тоді $1/w$ не може бути породжено $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \Q$.

Класифікація

Теорема про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп стверджує, що будь-яка скінченнопороджена абелева група $\mathbb{G}$ ізоморфна прямому добутку простих циклічних груп і нескінченних циклічних груп, де проста циклічна група - це така циклічна група, порядок якої є степенем простого числа. Тобто кожна така група ізоморфна групі вигляду

$\Z^m \oplus \Z_{m_1} \oplus \ldots \oplus \Z_{m_t},$

де $m \geqslant 0$, і числа $m_1,\;\ldots,\;m_t$ є степенями (не обов'язково різних) простих чисел. Значення $m,\;m_1,\;\ldots,\;m_t$ однозначно визначені (з точністю до порядку) групою $\mathbb{G}$, зокрема $\mathbb{G}$ скінченна тоді і тільки тоді, коли $m = 0\;$.

На підставі того факту що $\mathbb{G}_l$ буде ізоморфна добутку $\mathbb{G}_j$ і $\mathbb{G}_k$ тоді і тільки тоді, коли $j\;$ і $k\;$ взаємно прості і $l = j k\;$, ми також можемо представити будь-яку скінченнопороджену групу $\mathbb{G}$ у вигляді прямого добутку:

$\Z^m \oplus \Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \Z_{k_r},$

де $k_1\;$ ділить $k_2\;$, що ділить $k_3\;$ і так далі до $k_u\;$. І знову, числа $m\;$ і $k_1,\;\ldots,\;k_r$ однозначно задані групою $\mathbb{G}$.

Доведення

Існування

Позначимо n = m + u і доводитимемо другий варіант твердження. Нехай дана абелева група G із скінченним числом твірних. Група G є ізоморфною факторгрупі деякої вільної абелевої групи A_n по деякій її підгрупі V. З властивостей вільних абелевих груп випливає, що можна вибрати такий базис $x_1, \ldots, x_n$ групи A_n, що базис вільної абелевої групи V матиме вигляд $m_1 x_1, \ldots, m_r x_r,$ де $m_i$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i = 2, \ldots, r.$ Завдяки такому вибору базисів елемент

$x = a_1 x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n$

з групи A_n тоді і тільки тоді міститиметься в підгрупі V якщо коефіцієнти $a_i$ діляться на $m_i, ~i = 1, \ldots, r,$ а коефіцієнти $a_i, ~i = r+1, \ldots, n,$ рівні нулю. Дійсно, якщо коефіцієнти $a_i$ задовольняють цим умовам, то елемент x може бути записаний базис $m_1 x_1, \ldots, m_r x_r,$. Навпаки, якщо

$x = b_1 m_1 x_1 + b_2 m_2 x_2 + \ldots + b_n m_n x_n$

то, очевидно, всі зазначені умови виконуються.

У факторгрупі A_n/V елемент x_i + V має при $i \leqslant r$ порядок m_i, а при i > r нескінченний порядок. Циклічні підгрупи всіх цих елементів дають в сумі всю факторгрупу, причому, складають пряму суму — всякий елемент з A_n/V однозначно записується у вигляді суми елементів з циклічних підгруп x_i + V. Звичайно, якщо декілька перших з чисел m₁, m₂, ... рівні 1, то відповідні прямі доданки x₁ + V, x₂ + V{ и2 + V), ... повинні бути виключені. Зважаючи на ізоморфізм групи G з факторгрупою чинника A_n/V теорема доведена не тільки для A_n/V, але і для G.

Єдиність

Щоб довести єдиність такого, припустимо, що ми маємо другий такий розклад. Доведемо спершу, що n = n^' Припустимо, що n > n' і p — просте число, що ділить m₁. Використання початковий розклад, існує очевидний епіморфізм з G у n-вимірний векторний простір над $\mathbb{F}_p$; цей простір повинен породжуватися образами x'_i — базисних елементів з другого розкладу. Але це неможливо, тому що множина яку вони породжують містить щонайбільше p^n' < pⁿ елементів.

Для натурального числа m > 0 розглянемо групу mG, що складається з усіх mx де $x \in g$. Розклад для цієї групи одержиться з розкладу для G заміною x_i на mx_i і mx_i на $\frac{m_i}{GCD(m, m_i)}$, де GCD(m, m_i) — найбільший спільний дільник. Якщо m_i ділить m, то даний коефіцієнт рівний одиниці і відповідний елемент mx_i повинен бути видалений. Отже m_i однозначно визначаються властивістю, що m_i є найменше натуральне число для якого канонічне представлення mG використань щонайбільше n - i твірних.

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9.