Вільна абелева група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вільна абелева групаабелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
  • Для довільного кардинального числа \kappa \, існує вільна абелева група рангу \kappa \,.
  • Нехай \ G — вільна абелева група і \ A — абелева група. Якщо існує епіморфізм \ h \colon A \to G, то існує підгрупа \ F групи \ A ізоморфна групі \ G така, що A=F\oplus\ker h.
  • Будь-яка абелева група \ A гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група A\, має множину генераторів потужності ~\kappa то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу \kappa\,. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
  • Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою. У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай \ A — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа \ H цієї групи є вільною абелевою групою рангу r \leqslant n і можна вибрати такий базис x_1, \ldots, x_n групи \ A і натуральні числа m_i, ~i = 1, \ldots, r, що
    • Множина m_1 x_1, \ldots, m_r x_r є базисом підгрупи \ H;
    • m_i ділиться на m_{i-1} для всіх i = 2, \ldots, r.

Приклади[ред.ред. код]

  • Група \Z^+ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин \{1\}, \{-1\}\,.
  • Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина \ \{1, x, x^2, x^3,\ldots\}.

Література[ред.ред. код]