Вільна абелева група

Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості

• Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
• Для довільного кардинального числа $\kappa \,$ існує вільна абелева група рангу $\kappa \,$.
• Нехай $\ G$ — вільна абелева група і $\ A$ — абелева група. Якщо існує епіморфізм $\ h \colon A \to G$, то існує підгрупа $\ F$ групи $\ A$ ізоморфна групі $\ G$ така, що $A=F\oplus\ker h$.
• Будь-яка абелева група $\ A$ гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група $A\,$ має множину генераторів потужності $~\kappa$ то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу $\kappa\,$. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
• Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою. У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай $\ A$ — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа $\ H$ цієї групи є вільною абелевою групою рангу $r \leqslant n$ і можна вибрати такий базис $x_1, \ldots, x_n$ групи $\ A$ і натуральні числа $m_i, ~i = 1, \ldots, r,$ що
  • Множина $m_1 x_1, \ldots, m_r x_r$ є базисом підгрупи $\ H;$
  • $m_i$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i = 2, \ldots, r.$

Приклади

• Група $\Z^+$ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин $\{1\}, \{-1\}\,$.
• Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина $\ \{1, x, x^2, x^3,\ldots\}$.

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.